Question

Y=x^4-x исследуйте пожалуйста​

Answer 1

Ответ:

я не поняла что тут надо сделать

Answer 2

Давайте проанализируем функцию $y = x^4 - x$ по шагам:

1. Нахождение производной: Начнем с нахождения производной функции $y$ по $x$: $y' = \frac{d}{dx} (x^4 - x) = 4x^3 - 1$

2. Нахождение точек экстремума: Чтобы найти точки экстремума, решим уравнение $y' = 0$: $4x^3 - 1 = 0$ $4x^3 = 1$ $x^3 = \frac{1}{4}$ $x = \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

   Теперь найдем значение $y$ в этой точке: $y(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}) = (\sqrt[3]{\frac{1}{4}})^4 - \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

3. Исследование на возрастание и убывание: Для определения интервалов возрастания и убывания функции $y$, можно использовать производную $y'$. Мы уже нашли точку, где $y' = 0$, и это $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$.

   Теперь выберем тестовые точки в интервалах $(-\infty, \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$ и $(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}, +\infty)$. Например, можно взять $x = 0$ и $x = 1$ для проверки знака $y'$:

   • Если $x = 0$, то $y'(0) = 4 \cdot 0^3 - 1 = -1$, что означает, что функция убывает на интервале $(-\infty, \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$.
   • Если $x = 1$, то $y'(1) = 4 \cdot 1^3 - 1 = 3$, что означает, что функция возрастает на интервале $(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}, +\infty)$.

4. Поведение на бесконечности: Из анализа производной видно, что функция $y$ будет стремиться к бесконечности при $x \to \pm \infty$ так, как степенной член $x^4$ доминирует над линейным членом $-x$ на бесконечности.

5. Найденная точка экстремума: Мы уже нашли, что $x = \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ является точкой экстремума. Для определения характера этой точки (минимум или максимум), можно использовать вторую производную $y''$. Если $y''$ положительна, то это будет минимум, а если отрицательна, то максимум.

   Найдем вторую производную: $y'' = \frac{d}{dx} (4x^3 - 1) = 12x^2$