Question

До 4 різних поштових скриньок повинно бути вкинуто 12 однакових листів. а) Скількома способами це можна зробити? б) Скільки є способів, якщо до кожної скриньки мусить потрапити щонайменше 2 листи?

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Уявно, перекладемо наші листи ризками - розібємо на скриньки

|□□|□□□□|□□□|□□□|

Тоді задача полягає в тому, щоб знайти місце трьем середнім рискам серед 15 можливих положень, а це С(15,3)=455 способів

б) необхідно так поставити риски, що б між ними було хоча б 2 листи, тому маємо 9 положень.

С(9,3)= 84

Answer 2

а) Щоб вибрати спосіб, як вкинути 12 листів до 4 різних поштових скриньок, можна скористатися комбінаторикою. Це завдання є класичним прикладом розподілу однакових об'єктів на різні групи.

Ми можемо скористатися формулою "кількість способів розмістити r об'єктів серед n груп":

C(n+r-1, r) = C(4+12-1, 12) = C(15, 12).

Де C(n, r) позначає комбінаторний символ, що представляє кількість способів вибрати r об'єктів з n можливих.

Отже, кількість способів вкинути 12 листів до 4 різних поштових скриньок - це C(15, 12).

b) Якщо до кожної скриньки має потрапити щонайменше 2 листи, то ми можемо подивитися на це завдання як на розподіл залишку листів після того, як кожній скриньці вже було призначено по 2 листа.

Залишилось 4 листи, які треба розмістити в 4 скриньки.

Це аналогічно до розподілу 4 однакових об'єктів в 4 групи.

Кількість способів цього розподілу дорівнює C(4+4-1, 4) = C(7, 4).

Отже, є C(7, 4) способів розмістити 4 листи в 4 скриньки, де кожна скринька отримує щонайменше 2 листи.