Question

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Сумма боковых сторон треугольника равна 40 см. Найдите площадь этого треугольника.

Answer 1

Ответ:

40cm^2

Объяснение:

Площадь треугольника равна половины произведения сторон на синус угла между ними

S=

$\frac{40 \times 40}{2} \times \sin(30) = 80 \times \frac{1}{2} = 40 {cm}^{2}$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться тем, что у нас равнобедренный треугольник и угол при вершине, противолежащей основанию, равен 30°. Это означает, что другие два угла равны между собой и составляют (180° - 30°) / 2 = 75° каждый.

Теперь мы можем воспользоваться законом синусов, чтобы найти длину каждой боковой стороны треугольника. Пусть a обозначает длину основания (одной из боковых сторон), а b обозначает длину других двух равных сторон. Тогда мы можем записать следующее:

sin(30°) / a = sin(75°) / b

sin(30°) / a = sqrt(3) / 2 / b

Отсюда мы можем выразить a в зависимости от b:

a = (2b) / sqrt(3)

Теперь у нас есть выражение для a в терминах b, и мы знаем, что сумма боковых сторон треугольника равна 40 см:

a + 2b = 40

Теперь подставим выражение для a из первого уравнения во второе:

(2b) / sqrt(3) + 2b = 40

Умножим обе стороны на sqrt(3), чтобы избавиться от знаменателя:

2b * sqrt(3) + 2b = 40 * sqrt(3)

Теперь сложим оба члена на левой стороне:

2b * sqrt(3) + 2b = 40 * sqrt(3)

2b * (sqrt(3) + 1) = 40 * sqrt(3)

Теперь разделим обе стороны на (sqrt(3) + 1), чтобы найти значение b:

2b = (40 * sqrt(3)) / (sqrt(3) + 1)

2b = 40 * sqrt(3) * (sqrt(3) - 1)

2b = 40 * (3 - 1)

2b = 80

Теперь мы знаем значение b:

b = 80 / 2 = 40 см

Теперь мы можем найти значение a:

a = (2b) / sqrt(3) = (2 * 40) / sqrt(3) = 80 / sqrt(3) см

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника, и мы можем найти его площадь. Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота

Где высота - это отрезок, проведенный из вершины треугольника к середине основания. Так как треугольник равнобедренный, высота будет также являться медианой и делить основание пополам.

Высота = (1/2) * a = (1/2) * (80 / sqrt(3)) см

Теперь можем найти площадь:

Площадь = (1/2) * (80 / sqrt(3)) * (40 см) = (80 * 40) / (2 * sqrt(3)) = (3200 / sqrt(3)) см²

Чтобы упростить ответ, можно умножить числитель и знаменатель на sqrt(3):

Площадь = (3200 * sqrt(3)) / (3) см²

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника составляет (3200 * sqrt(3)) / 3 квадратных сантиметра.