Question

ОТДАЮ ВСЕ БАЛЛЫ!!! Множество, состоящее из шести элементов x1, x2, x3, x4, x5, x6, упорядочили всеми возможными способами. В скольких случаях: г)элемент x1 будет первым,а элемент x6 не будет последним; д)элемент x1 будет стоять рядом с элементом x6; е)элемент x1 не будет стоять рядом с элементом x6; ж)элемент x1 будет стоять перед элементом x6. И ПОЖАЛУЙСТА - с объяснениями,это самое главное! Ибо я выучил теорию,нормально прорешал предыдущие задания по этой теме,но тут тупик абсолютный,просто в упор ничего не понимаю...

Answer 1

Г) использую факт: если есть n объектов, то их можно упорядочить n! = 1 * 2 * 3 * ... * n способами.
Поставим x1 на первое место и забудем про него. Надо расставлять оставшиеся 5 элементов.
- Если расставлять элементы как угодно, получится 5! = 120 вариантов.
- Если x6 поставить на последнее место, то остальные 4 элемента можно распределить 4! = 24 способами.
Тогда, число способов расставить так, что x6 не на последнем месте, равно 5! - 4! = 96.

ж) Если "перед" означает "сразу перед": можно "склеить" элементы x1 и x6 вместе, и распределять новый "склеенный" элемент и остальные 4 элемента произвольно. 5 элементов можно упорядочивать 5! = 120 вариантами.
Если "перед" допускает, что x1 и x6 стоят не подряд: очевидно, в каждой расстановке какой-то из элементов стоит перед другим, при этом число комбинаций, когда x1 стоит перед x6, равно числу комбинаций, когда x6 стоит перед x1. Тогда x1 стоит перед x6 ровно в половине случаев. 6 элементов можно расставить 6! = 720 способами, тогда ответ 6! / 2 = 360.

д) x1 и x6 стоят рядом = x1 стоит сразу перед x6 ИЛИ x6 стоит сразу перед x1
Число способов в первом и втором случае, очевидно, равны и уже рассчитаны в предыдущем пункте. Ответ: 2 * 5! = 240.

е) Если всего есть 6! способов упорядочить, и рядом элементы стоят в 2 * 5! случаях, то способов упорядочить так, что элементы стоят не рядом, ровно 6! - 2 * 5! = 4 * 5! = 480.