Question

Lim x->к бесконечности 5х^4-х^3+2х/х^4-8х^3+1

Answer 1

$lim_{x\to\infty}\frac{5x^4-x^3+2x}{x^4-8x^3+1}=lim_{x\to\infty}\frac{x^4(5-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2})}{x^4(1-\frac{8}{x}+\frac{1}{x^4})}=lim_{x\to\infty}\frac{5-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}{1-\frac{8}{x}+\frac{1}{x^4}}= \\ =\frac{5-0+0}{1-0+0}=\frac{5}{1}}=5$

Answer 2

Для вычисления данного предела можно воспользоваться правилом Лопиталя, которое гласит, что если предел f(x)/g(x) равен бесконечности или неопределенности вида 0/0 или ∞/∞ при x -> a, то предел этого выражения равен пределу отношения производных f'(x)/g'(x) при x -> a, если этот предел существует или равен ∞ или -∞.

Применяя правило Лопиталя к данному пределу, получим:

lim x->∞ (5x^4 - x^3 + 2x) / (x^4 - 8x^3 + 1) = lim x->∞ (20x^3 - 3x^2 + 2) / (4x^3 - 24x^2) = lim x->∞ (60x - 6) / (12x^2 - 48x) = lim x->∞ (60 / (12x - 48)) = lim x->∞ (5 / (x - 4))

Таким образом, данный предел равен бесконечности с направлением вверх (то есть положительной бесконечности), так как знаменатель стремится к нулю справа от точки x=4, а числитель неограниченно растет при стремлении x к бесконечности.