Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функцийУ= 1+3^x y=5-x y=2​

Answer 1

графики на картинке

разобъем фигуру на 2 части

тогда

$\displaystyle S=\int\limits^1_0 {(1+3^x-2)} \, dx +\int\limits^3_1 {(5-x-2)} \, dx=\\\\=\int\limits^1_0 {(3^x-1)} \, dx+\int\limits^3_1 {(3-x)} \, dx =\\\\=(\frac{3^x}{ln3}-x) \bigg|^1_0+(3x-\frac{x^2}{2}) \bigg|^3_1=\\\\=(\frac{3}{ln3}-1-\frac{1}{ln3})+(9-\frac{9}{2}-3+\frac{1}{2})=\frac{2}{ln3}-1+2=\frac{2+ln3}{ln3}$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 1 + 3^x, y = 5 - x и y = 2, вам нужно найти точки их пересечения и определить, как эти графики ограничивают пространство между собой. Затем вы можете вычислить площадь этой фигуры.

Сначала найдем точки пересечения графиков:

1. Для точки пересечения графиков y = 1 + 3^x и y = 5 - x, приравняем их:

1 + 3^x = 5 - x

Переносим x и константу на одну сторону:

3^x + x = 4

Это уравнение не имеет аналитического решения, и его можно решить только численно. Однако мы можем приближенно найти значение x, которое удовлетворяет этому уравнению. Для этого используем численные методы или графическое решение. После нахождения x мы найдем соответствующее значение y на графике y = 1 + 3^x.

2. Для точки пересечения графика y = 1 + 3^x и y = 2, приравняем их:

1 + 3^x = 2

3^x = 1

x = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: одна с x ≈ 0.631 и соответствующим значением y ≈ 2.63, и другая с x = 0 и y = 2.

Теперь нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими графиками. Это можно сделать, разбив фигуру на два треугольника и прямоугольник между ними.

Первый треугольник:

• База: от x = 0 до x ≈ 0.631
• Высота: от y = 2 до y ≈ 2.63

Второй треугольник:

• База: от x ≈ 0.631 до x = 0
• Высота: от y = 2 до y ≈ 2.63

Прямоугольник:

• Одна сторона: от x = 0 до x ≈ 0.631
• Другая сторона: от y ≈ 2 до y ≈ 2.63

Теперь можно вычислить площадь каждой части и сложить их, чтобы получить общую площадь фигуры.