Question

Найдите производную функции y=sin(cos2x)

Answer 1

Нужно знать:

1) функция вида у = f(g(x)) является сложной;

2) производную сложной функции находят по формуле:

     y' = f '(g(x)) · g'(x);

3) (sinx)' = cosx;

4) (cosx)' = -sinx;

5) (Cu)' = C · u'.

Поэтому:

y' = (sin(cos2x))' = sin'(cos(2x)) · cos'(2x) = cos(cos(2x)) · (-2sin(2x)) =

= -2cos(cos(2x))sin(2x).

Answer 2

Для нахождения производной функции y = sin(cos(2x)) нужно использовать цепное правило дифференцирования.

По цепному правилу производная сложной функции f(g(x)) равна произведению производной внешней функции f'(g(x)) на производную внутренней функции g'(x).

В данном случае:

1. Внешняя функция f(u) = sin(u).
2. Внутренняя функция g(x) = cos(2x).

Теперь найдем производные этих функций:

1. Производная внешней функции f(u) = sin(u) равна f'(u) = cos(u).

2. Производная внутренней функции g(x) = cos(2x) при помощи цепного правила будет g'(x) = -2sin(2x).

Теперь, используя цепное правило, мы можем найти производную функции y = sin(cos(2x)):

y' = f'(g(x)) * g'(x) = cos(cos(2x)) * (-2sin(2x))

Таким образом, производная функции y = sin(cos(2x)) равна:

y' = -2cos(cos(2x))sin(2x)