Question

Роз'яжіть рівняння: 2/x^2+8/x=2

Answer 1

Ответ:

$x_1 = 2 - \sqrt 5;\\x_2 = 2 + \sqrt 5.$

Объяснение:

Исходное уравнение — дробно-рациональное, поэтому сначала требуется найти область допустимых значений. ОДЗ:

$\left \{ {{x^2\not=0} \atop {x\not=0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x\not=0} \atop {x\not=0}} \right. \Rightarrow x \not = 0.$

Теперь решим уравнение:

$\frac{2}{x^2}+\frac{8}{x}=2;\\\\\frac{2}{x^2} + \frac{8}{x} - 2 = 0;\\\\\frac{2}{x^2} + \frac{8x}{x^2} - \frac{2x^2}{x^2} = 0;\\\\\frac{2+8x-2x^2}{x^2} = 0;\\\\2+8x-2x^2 = 0;\\-2x^2 + 8x + 2 = 0;\\D = 64 +4 \cdot 2 \cdot 2 = 64 + 16 = 80.\\\\x_1 = \frac{-8 + \sqrt{80}}{-2\cdot 2} = \frac{-4\cdot2 + 4\sqrt{5}}{-4} = 2 - \sqrt{5}.\\x_2 = \frac{-8 - \sqrt{80}}{-2\cdot 2} = 2 + \sqrt{5}.$

Оба корня удовлетворяют условию ОДЗ, они не равны нулю. Таким образом, ответом будут оба корня.

Answer 2

Щоб розв'язати рівняння $\frac{2}{x^2} + \frac{8}{x} = 2$, спростимо його, помноживши обидві сторони на $x^2$, щоб позбутися дробів:

$2 + 8x = 2x^2$

Тепер перенесемо всі члени на одну сторону рівності, щоб мати квадратне рівняння:

$2x^2 - 8x - 2 = 0$

Тепер ми можемо використовувати квадратну формулу для знаходження коренів цього рівняння. Квадратна формула має вигляд:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

У нашому випадку $a = 2$, $b = -8$ і $c = -2$. Підставимо ці значення у формулу:

$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 16}}{4}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{4}$

Тепер витягнемо корінь з числа 80:

$x = \frac{8 \pm \sqrt{16 \cdot 5}}{4}$

$x = \frac{8 \pm 4\sqrt{5}}{4}$

Розділімо чисельник із дільником:

$x = \frac{4(2 \pm \sqrt{5})}{4}$

Скоротимо спільний множник 4:

$x = 2 \pm 2\sqrt{5}$

Таким чином, рівняння має два корені: $x = 2 + 2\sqrt{5}$ і $x = 2 - 2\sqrt{5}$.