Question

Докажите, что куб целого числа при делении на 7 дает в остатке 0, 1 или 6

Answer 1

любое число можно представить в одном из видов

7k, 7k + 1, 7k + 2, 7k + 3, 7k + 4, 7k + 5, 7k + 6

(то есть все остатки от 0 до 6)

возведем  в куб и посмотрим остатки при k = 0

0³ = 0  остаток 0

1³ = 1  остаток 1

2³ = 8  остаток 1

3³ = 27  остаток 6

4³ = 64  остаток 1

5³ = 125  остаток 6

6³ = 216  остаток 6

доказали

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте воспользуемся методом математической индукции.

Предположим, что у нас есть целое число, обозначим его как "n," и мы хотим доказать, что куб этого числа при делении на 7 дает в остатке 0, 1 или 6.

1. Базовый шаг: При n = 0, куб нуля равен нулю, и ноль делится на 7 без остатка, что соответствует условию.

2. Индукционный шаг: Предположим, что для некоторого целого числа k куб k при делении на 7 дает в остатке 0, 1 или 6. То есть:

   k^3 ≡ 0 (mod 7) или k^3 ≡ 1 (mod 7) или k^3 ≡ 6 (mod 7).

   Теперь давайте рассмотрим (k + 1) и его куб:

   (k + 1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1.

   Теперь мы можем рассмотреть каждый член по отдельности:

   • k^3 при делении на 7 дает в остатке 0, 1 или 6 в соответствии с предположением индукции.
   • 3k^2 при делении на 7 дает в остатке 0, 3 или 6, так как 3k^2 всегда делится на 3, а остаток от деления на 7 может быть только 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6.
   • 3k при делении на 7 дает в остатке 0, 3 или 6, так как 3k также делится на 3.
   • 1 при делении на 7 дает в остатке 1.

   Теперь давайте сложим эти остатки:

   (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) ≡ (0, 1 или 6) + (0, 3 или 6) + (0, 3 или 6) + 1.

   Мы видим, что сумма остатков в любом случае будет равна 0, 1, или 6.

Итак, мы показали, что если утверждение верно для k, то оно также верно и для k + 1. Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех целых чисел n.

Поэтому куб целого числа при делении на 7 действительно дает в остатке 0, 1 или 6.