Question

Знайдіть усі значення параметра a, за яких обидва рівняння мають по 2 корені і між двома коренями одного з рівняннь є рівно один корінь іншого рівняння ​

Answer 1

..................................

Answer 2

Давайте спробуємо розв'язати цю задачу. Ми маємо два квадратних рівняння з параметром a:

1. Рівняння 1: x^2 + ax + a = 0
2. Рівняння 2: x^2 + 2ax + 1 = 0

Давайте спробуємо знайти корені кожного з цих рівнянь.

1. Рівняння 1: x^2 + ax + a = 0 Дискримінант D1 = a^2 - 4a Розв'язки цього рівняння будуть: x1 = (-a + √D1) / 2 x2 = (-a - √D1) / 2

2. Рівняння 2: x^2 + 2ax + 1 = 0 Дискримінант D2 = (2a)^2 - 4(1)(1) = 4a^2 - 4 Розв'язки цього рівняння будуть: x3 = (-2a + √D2) / 2 = -a + √(a^2 - 1) x4 = (-2a - √D2) / 2 = -a - √(a^2 - 1)

Тепер ми повинні врахувати умову, що між коренями одного з рівнянь є рівно один корінь іншого рівняння. Це означає, що один із коренів рівняння 1 повинен дорівнювати одному із коренів рівняння 2. Давайте знайдемо такі пари коренів:

1. x1 = x3 (-a + √D1) / 2 = -a + √(a^2 - 1) √D1 = √(a^2 - 1)

2. x2 = x3 (-a - √D1) / 2 = -a + √(a^2 - 1)

Зараз ми маємо два рівняння, які повинні виконуватися для того, щоб обидва рівняння мали по 2 корені і між коренями одного рівняння був рівно один корінь іншого рівняння:

1. √D1 = √(a^2 - 1)
2. (-a - √D1) / 2 = -a + √(a^2 - 1)

Розглянемо перше рівняння:

√D1 = √(a^2 - 1) D1 = a^2 - 1

Тепер підставимо це значення D1 у друге рівняння:

(-a - √(a^2 - 1)) / 2 = -a + √(a^2 - 1)

Помножимо обидві сторони на 2, щоб позбавитися від знаменника:

-a - √(a^2 - 1) = -2a + 2√(a^2 - 1)

Тепер давайте перенесемо всі терміни з a на одну сторону і всі терміни з √(a^2 - 1) на іншу сторону:

√(a^2 - 1) - √(a^2 - 1) = -2a + a

Отримаємо:

-a = -a

Ця остання рівність справедлива для будь-якого a, оскільки обидва боки рівність рівні. Отже, рівняння 1 і 2 завжди мають однакові корені для будь-якого значення параметра a.