Question

Докажите что прямые ab и cd перпендикулярны зная что a) a(-2.4). b(-5.1). c(-3.2). d(0.-1) б) a(3.-3). b(-1.-2). c(2.-1). d(3.3)

Answer 1

а)

Рассмотрим векторы AB и CD:

$\vec{AB}=\{-5-(-2);\ 1-4\}=\{-3;\ -3\}$

$\vec{CD}=\{0-(-3);\ -1-2\}=\{3;\ -3\}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$(\vec{AB}\cdot\vec{CD})=-3\cdot3+(-3)\cdot(-3)=-9+9=0$

Скалярное произведение векторов равно 0, значит векторы перпендикулярны. Значит и прямые, на которых лежат эти векторы, перпендикулярны.

б)

Составим уравнение прямой AB:

$\dfrac{x-3}{-1-3} =\dfrac{y-(-3)}{-2-(-3)}$

$\dfrac{x-3}{-4} =\dfrac{y+3}{1}$

$-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{4} =y+3$

$y=-\dfrac{1}{4}x-2\dfrac{1}{4}$

Составим уравнение прямой CD:

$\dfrac{x-2}{3-2} =\dfrac{y-(-1)}{3-(-1)}$

$\dfrac{x-2}{1} =\dfrac{y+1}{3+1}$

$x-2 =\dfrac{y+1}{4}$

$4x-8 =y+1$

$y=4x-9$

Заметим, что угловые коэффициенты полученных прямых соответственно равны $k_{AB}=-\dfrac{1}{4}$, $k_{CD}=4$.

Если угловые коэффициенты двух прямых связаны соотношением $k_1=-\dfrac{1}{k_2}$, то эти две прямые перпендикулярны.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что две прямые перпендикулярны друг другу, мы можем воспользоваться свойством их наклонов (угловых коэффициентов). Две прямые перпендикулярны друг другу, если произведение их наклонов равно -1.

У нас есть две пары точек, одна из них (a и b) и вторая (c и d). Нам нужно найти наклоны (угловые коэффициенты) прямых, проходящих через эти точки.

a(-2,4) и b(-5,1): Наклон прямой через a и b равен: (1 - 4) / (-5 - (-2)) = (-3) / (-3) = 1.

c(-3,2) и d(0,-1): Наклон прямой через c и d равен: (-1 - 2) / (0 - (-3)) = (-3) / 3 = -1.

Теперь мы видим, что наклоны этих двух прямых равны 1 и -1. Произведение этих наклонов равно 1 * (-1) = -1.

Поскольку произведение наклонов этих прямых равно -1, это означает, что прямые ab и cd перпендикулярны друг другу.