Question

1. Найдите косинусы углов треугольника, стороны которого равны 5 см, 8 см и 11 см. 2. Две стороны треугольника равны 6 см и 9 см, а синус угла между ними равен 2√2 / 3. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача? 3. Определите вид треугольника, стороны которого равны: 1) 3 см, 4 см, 6 см; 2) 5 см, 6 см, 7 см; 3) 8 см. 15 см, 17 см.

Answer 1

1.

cos A = (5² + 8² - 11²) : (2*5*8) = -32 / (8*10) = - 0,4

cos B = (8² + 11² - 5²) : (2*8*11) = 160 / 176 = 80 / 88 = 10/11

cos C = (11² + 5² - 8²) : (2*5*11) = 41 / 55

2.

Синус "не чувствует" тупой или острый угол, следовательно ему соответствуют 2 Косинуса:

cos²A = 1 - 8/9 = 1/9, cos A = ±1/3

BC² = 6² + 9² ± 2*6*9*1/3

BC² = 117 ± 36

BC = sqrt(153) или BC = 9

4.

3² + 4² = 25 < 6² - тупоугольный

5² + 6² = 61 > 7² - остроугольный

8² + 15² = 289 = 17² - прямоугольный

Answer 2

1. Для первой задачи:

   Сначала определим вид треугольника, используя теорему Пифагора. Треугольник прямоугольный, если выполняется следующее условие: a^2 + b^2 = c^2, где a и b - длины катетов, а c - длина гипотенузы.

   Длины сторон данного треугольника: a = 5 см, b = 8 см, c = 11 см.

   Подставим значения: 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89 11^2 = 121

   Условие теоремы Пифагора не выполняется, так как 89 не равно 121. Значит, данный треугольник не прямоугольный.

   Теперь найдем косинусы углов. В прямоугольном треугольнике, косинус угла можно найти по следующей формуле: cos(α) = a / c, где α - угол между стороной a и гипотенузой c.

   Для нашего треугольника: a = 5 см, c = 11 см cos(α) = 5 / 11

2. Для второй задачи:

   Здесь у нас известны две стороны треугольника (a = 6 см, b = 9 см) и синус угла между ними (sin(α) = 2√2 / 3). Мы можем использовать формулу: sin(α) = a / c, где α - угол между сторонами a и c.

   Первым шагом найдем угол α: sin(α) = 2√2 / 3 α = arcsin(2√2 / 3)

   Теперь, используя найденное значение угла α, мы можем найти третью сторону треугольника c, используя тригонометрическую функцию синус: c = b / sin(α) c = 9 см / sin(α)

3. Для третьей задачи:

   В этой задаче нужно определить вид треугольника, используя длины его сторон.

   a) Стороны: 3 см, 4 см, 6 см Треугольник с такими сторонами является остроугольным.

   b) Стороны: 5 см, 6 см, 7 см Треугольник с такими сторонами также является остроугольным.

   c) Стороны: 8 см, 15 см, 17 см Треугольник с такими сторонами является прямоугольным (выполняется теорема Пифагора: 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289, что равно 17^2).

Теперь, после решения всех трех задач, вы можете видеть, какой тип треугольника в каждом случае и какие значения косинусов и третьей стороны для второй задачи.