Question

При якому значенні х числа х-1 ,2х+1 ,4х+11 є послідовними членами геометричної прогресії?(Подати повне розвязування. Запис ікс у квадраті робити так х2) СРОЧНОО ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

$b_1=x-1 \\ \\ b_2=2x+1 \\ \\ b_3=4x+11 \\ \\ b_2=b_1\cdot q =(x-1)\cdot q \\ \\ b_3=b_2\cdot q =b_1\cdot q^2=(x-1)\cdot q^2 \\ \\ \left \{ {{2x+1=(x-1)\cdot q} \atop {4x+11=(x-1)\cdot q^2}} \right. \\ \\ q=\frac{2x+1}{x-1} \\ \\ 4x+11=(x-1)\cdot (\frac{2x+1}{x-1})^2 \\ \\ 4x+11=\frac{(2x+1)^2}{x-1} \\ \\ (4x+11)\cdot (x-1)=(2x+1)^2 \\ \\ 4x^2-4x+11x-11 = 4x^2+4x+1 \\ \\ 4x^2-4x^2 +7x-4x =1+11 \\ \\ 3x=12 \\ \\ x=\frac{12}{3}=4 \\ \\ q=\frac{2\cdot 4+1}{4-1}=\frac{8+1}{3}=\frac{9}{3}=3$

$1) \ x-1=4-1=3 \\ \\ 2) \ 2x+1=2\cdot 4+1=8+1=9 \\ \\ 3) \ 4x+11=4\cdot 4 +11=16+11=27$

Answer 2

Щоб числа $x - 1$, $2x + 1$ та $4x + 11$ були послідовними членами геометричної прогресії, коефіцієнти, з якими помножуються попередні члени, повинні бути однаковими.

Отже, для геометричної прогресії з різницею $q$ (коефіцієнтом пропорційності) між кожною парою сусідніх членів, ми маємо:

$\frac{2x + 1}{x - 1} = \frac{4x + 11}{2x + 1} = q$

Спростимо перше відношення:

$\frac{2x + 1}{x - 1} = q$

$2x + 1 = q(x - 1)$

$2x + 1 = qx - q$

Спростимо друге відношення:

$\frac{4x + 11}{2x + 1} = q$

$4x + 11 = q(2x + 1)$

$4x + 11 = 2qx + q$

Тепер ми можемо вирішити ці дві рівняння для знаходження значення $q$:

$2x + 1 = qx - q$ (1) $4x + 11 = 2qx + q$ (2)

Підставимо вираз для $qx - q$ з рівняння (1) у рівняння (2):

$4x + 11 = 2(2x + 1) + q$

$4x + 11 = 4x + 2 + q$

$q = 9$

Тепер маємо значення $q = 9$. Підставимо це значення у вираз $2x + 1 = qx - q$ для знаходження значення $x$:

$2x + 1 = 9x - 9$

$8x = 10$

$x = \frac{5}{4}$

Отже, значення $x$ у даному випадку рівне $\frac{5}{4}$.