Question

Доведить тотожнисть (4a²+3)²+(7-4a²)²-2(7a²+3)(4a²-7)=100​

Answer 1

Ответ:

16а4+9+49-16а4-14а2

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый член этой тотожности поочередно и упростим его.

1. $(4a^2 + 3)^2$:

   $$(4a^2 + 3)^2 = 16a^4 + 24a^2 + 9.$$

2. $(7 - 4a^2)^2$:

   $$(7 - 4a^2)^2 = 49 - 56a^2 + 16a^4.$$

3. $2(7a^2 + 3)(4a^2 - 7)$:

   $$2(7a^2 + 3)(4a^2 - 7) = 14a^4 - 98a^2 + 24a^2 - 42 = 14a^4 - 74a^2 - 42.$$

Теперь объединим все члены и упростим выражение:

$$\begin{align*} & (16a^4 + 24a^2 + 9) + (49 - 56a^2 + 16a^4) - (14a^4 - 74a^2 - 42) = 100 \\ & 16a^4 + 24a^2 + 9 + 49 - 56a^2 + 16a^4 - 14a^4 + 74a^2 + 42 = 100 \\ & 18a^4 + 42a^2 + 100 = 100 \\ & 18a^4 + 42a^2 = 0 \\ & 6a^2(3a^2 + 7) = 0. \end{align*}$$

Таким образом, у нас есть два возможных случая:

1. $a^2 = 0$.
2. $3a^2 + 7 = 0$.

В первом случае $a^2 = 0$ приводит к $a = 0$. Во втором случае $3a^2 + 7 = 0$ можно решить относительно $a$:

$$\begin{align*} 3a^2 + 7 &= 0 \\ 3a^2 &= -7 \\ a^2 &= -\frac{7}{3}. \end{align*}$$

Так как $a^2$ не может быть отрицательным, у нас нет действительных корней для этого случая. Таким образом, корень тотожности - $a = 0$.