Question

Докажите тождество 1)cos2альфа+sin²альфа=(1-sinальфа)(1+sinальфа) 2)(tgальфа+ctgальфа)(1-сos4альфа)=4sin2альфа Решите уравнение Cos4xcos3x+sin4xsin3x=-1

Answer 1

$\displaystyle cos2a+sin^2a=cos^2a-sin^2a+sin^2a=cos^2a=1-sin^2a=(1-sina)(1+sina)$

$\displaystyle (tga+ctga)(1-cos4a)=(\frac{sina}{cosa}+\frac{cosa}{sina})(1-(cos^22a-sin^22a))=\\\\=(\frac{sin^2a+cos^2a}{cosa*sina})(cos^22a+sin^22a-cos^22a+sin^22a)=\\\\=\frac{1}{cosa*sina}(2sin^22a)=\frac{2(2sina*cosa)^2}{cosa*sina}= \frac{2*4sin^2a*cos^2a}{cosa*sina}=\\\\=2*4*sina*cosa=4sin2a$

$\displaystyle cos4x*cos3x+sin4x*sin3x=-1\\\\cos(4x-3x)=-1\\\\cosx=-1\\\\x=\pi +2\pi n; n \in Z$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из ваших требований по очереди:

1) Доказательство тождества:

Начнем с левой стороны тождества: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha$

Это тождество тригонометрии $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$. Теперь давайте развернем правую сторону тождества: $(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha)$ $= 1 - \sin^2\alpha$

Как мы видим, левая и правая части тождества совпадают, следовательно, тождество верно.

2) Уравнение $\cos(4x)\cos(3x) + \sin(4x)\sin(3x) = -1$:

Используем тригонометрическую формулу для произведения синусов и косинусов: $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

Теперь уравнение принимает вид: $\cos(4x - 3x) = -1$ $\cos(x) = -1$

Решение этого уравнения - это $x = \pi + 2n\pi$, где $n$ - целое число.

Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, дайте знать!