Question

Упростите выражение tga (1+cos2a) - sin2a​

Answer 1

Ответ:

$\tan( \alpha ) (1 + \cos(2 \alpha ) ) - \sin(2 \alpha ) = \\ = \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } ( { \cos( \alpha ) }^{2} + { \sin( \alpha ) }^{2} + { \cos( \alpha ) }^{2} - { \sin( \alpha ) }^{2} ) - 2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) = \\ = \frac{2 \sin( \alpha ) { \cos( \alpha ) }^{2} }{ \cos( \alpha ) } - 2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) = \\ = 2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) - 2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) = 0$

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Начнем с тождества для удвоенного угла синуса:

   $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

2. Теперь используем тождество для косинуса двойного угла:

   $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$

3. Мы также знаем, что $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$.

Теперь применим это к вашему выражению:

$$\begin{align*} t\sin(2\alpha) + t\cos(2\alpha) - \sin(2\alpha) &= 2t\sin(\alpha)\cos(\alpha) + \left(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)\right) - 2t\sin(\alpha)\cos(\alpha) \\ &= \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \\ &= 1 - \sin^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \\ &= 1 - 2\sin^2(\alpha). \end{align*}$$

Таким образом, упрощенное выражение равно $1 - 2\sin^2(\alpha)$.