Question

Dy/dx=-8y путь решение нужно!!!ответ: у=4е^-8у ; у=8е^-4х​

Answer 1

Ответ:

$y=\pm e^{-8x+C}, \quad C-const;$

Объяснение:

$\dfrac{dy}{dx}=-8y;$

$dy=-8ydx;$

$\dfrac{dy}{y}=-8dx;$

$\int\ {\dfrac{dy}{y}} \, = \int\ {-8} \, dx ;$

$ln|y|=-8x+C, \quad C-const;$

$e^{ln|y|}=e^{-8x+C}, \quad C-const;$

$|y|=e^{-8x+C}, \quad C-const;$

$y=\pm e^{-8x+C}, \quad C-const;$

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения $\frac{{dy}}{{dx}} = -8y$, мы можем использовать метод разделения переменных.

1. Разделим переменные, выделяя $y$ на одну сторону и $x$ с дифференциалом $dx$ на другую:

$\frac{{dy}}{{y}} = -8dx$

2. Затем проинтегрируем обе части:

$\int \frac{{dy}}{{y}} = \int -8 \, dx$

3. Это приведет к:

$\ln|y| = -8x + C_1$

где $C_1$ - произвольная константа интегрирования.

4. Используя свойство логарифмов, мы можем переписать уравнение как:

$\ln|y| = -8x + C_1$

5. Теперь применяем экспоненту к обеим сторонам уравнения:

$|y| = e^{-8x + C_1}$

$|y| = e^{C_1} \cdot e^{-8x}$

6. Поскольку $e^{C_1}$ является положительной константой, мы можем переписать это как:

$y = ke^{-8x}$

где $k = e^{C_1}$.

Теперь, если у нас есть начальное условие, мы можем найти конкретное значение $k$. Например, если $y(0) = y_0$, то подставим $x = 0$ и $y = y_0$ в уравнение:

$y_0 = ke^0 = k$

Таким образом, финальное решение имеет вид:

$y = ke^{-8x}$

где $k$ может быть определено из начального условия.