Question

Доведіть, що функція f(x)=8/2-x зростає на проміжку (2;+ ∞)

Answer 1

Ответ:

В решении.

Объяснение:

Доведіть, що функція f(x)=8/2-x зростає на проміжку (2;+ ∞).

Функция  возрастает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению х) соответствует большее значение функции (большее значение у).

Дана функция у = 8/(2 - х);  промежуток х∈(2; +∞);

Придать значения х (из указанного промежутка) и вычислить значения у:

х        3       4        6       10

у       -8      -4       -2       -1

Как показывает таблица значений х и у, с ростом значений аргумента значения функции растут, значит, данная функция на указанном промежутке возрастает.

 

Answer 2

Щоб довести, що функція $f(x) = \frac{8}{2^x}$ зростає на проміжку $(2; +\infty)$, нам потрібно показати, що похідна цієї функції додатня на даному інтервалі. Для цього ми спростимо вираз для похідної та покажемо, що він є додатнім.

Спочатку знайдемо похідну функції $f(x)$ за допомогою правила диференціювання функції $a^x$, де $a$ - додатне число:

$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{8}{2^x}\right)$

Використовуючи правило ланцюга, ми отримуємо:

$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(8 \cdot 2^{-x}\right) = 8 \cdot \frac{d}{dx}(2^{-x})$

Тепер знайдемо похідну функції $2^{-x}$. Використовуючи правило диференціювання для функції $a^x$, ми отримуємо:

$\frac{d}{dx}(2^{-x}) = \ln(2) \cdot 2^{-x}$

Отже, ми можемо записати похідну $f'(x)$ як:

$f'(x) = 8 \cdot \ln(2) \cdot 2^{-x}$

Тепер ми можемо аналізувати знак похідної на проміжку $(2; +\infty)$. Нам відомо, що $\ln(2)$ - додатне число, і $2^{-x}$ також є додатним на цьому проміжку, оскільки $2$ піднесене до будь-якого дійсного числа завжди більше за $0$.

Отже, наша похідна $f'(x)$ має додатне значення на проміжку $(2; +\infty)$, що означає, що функція $f(x)$ зростає на цьому проміжку.