Question

Доведіть що в прямокутному трикутнику з катетом a і b та гіпотенузою c радіус вписаного кола обчислюють за формулою r=a+b-c/2 (Помогите срочно) ​

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Для доведення цієї формули використаємо властивість вписаного кола прямокутного трикутника. Вона стверджує, що точка дотику вписаного кола до сторон трикутника розділяє кожну сторону трикутника на дві відрізки в пропорції до прилеглих катетів. Це означає, що:

r/a = b/r

де r - радіус вписаного кола, a і b - катети.

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння щодо r:

r^2 = ab

За теоремою Піфагора, ми також знаємо, що:

c^2 = a^2 + b^2

Тепер давайте розв'яжемо це рівняння щодо c:

c = √(a^2 + b^2)

Тепер, ми можемо підставити вираз для c в рівняння r^2 = ab:

r^2 = ab

r^2 = (a^2 + b^2)b

r^2 = a^2b + b^3

А тепер давайте виразимо r^2 відносно a і b:

r^2 = a(a + b) + b^3

Тепер ми можемо використати це рівняння, щоб знайти r:

r = √(a(a + b) + b^3)

Тепер давайте спростимо цей вираз:

r = √(a^2 + ab + b^3)

r = √(a^2 + ab + b^2b)

r = √(a^2 + 2ab + b^2 - ab)

r = √((a + b)^2 - ab)

Тепер ми знаємо, що c = a + b (за теоремою Піфагора), тому ми можемо підставити це значення в рівняння для r:

r = √(c^2 - ab)

Це і є формула, яку ви хотіли довести:

r = (a + b - c)/2.