Question

Точка возрастания и убывания функции y = x ^ 3-3x ^ 2

Answer 1

Ответ:

Решение

y = x³ + 3x²

1. Находим интервалы возрастания и убывания.

Первая производная.

f'(x) = 3x² + 6x

или

f'(x) = 3x*(x + 2)

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

3x*(x + 2) = 0

Откуда:

3x = 0

x₁ = 0

x + 2 = 0

x₂ = - 2

(-∞ ;-2) f'(x) > 0 функция возрастает

(-2; 0) f'(x) < 0 функция убывает

(0; +∞) f'(x) > 0 функция возрастает

В окрестности точки x = - 2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = - 2 - точка максимума.

В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума.

Объяснение:

Answer 2

Для найти точки возрастания и убывания функции y = x^3 - 3x^2, мы должны вычислить производную этой функции и анализировать её знаки. Точки возрастания и убывания будут связаны с изменениями знаков производной.

1. Начнем с нахождения производной функции: y' = 3x^2 - 6x.

2. Теперь определим, когда производная положительна (функция возрастает) и когда отрицательна (функция убывает).

   Для этого рассмотрим неравенство y' > 0: 3x^2 - 6x > 0.

   Давайте решим это неравенство. Сначала вынесем общий множитель 3: 3(x^2 - 2x) > 0.

   Теперь, разделим обе стороны на 3: x^2 - 2x > 0.

   Это неравенство можно решить, находя корни квадратного уравнения: x^2 - 2x = 0.

   x(x - 2) = 0.

   Корни: x = 0 и x = 2.

   Теперь мы можем построить таблицу знаков:

   Интервал	Знак y'(x)
   (-∞, 0)	-
   (0, 2)	+
   (2, +∞)	+

   Теперь мы знаем, что производная положительна на интервалах (0, 2) и (2, +∞). Это означает, что функция y = x^3 - 3x^2 возрастает на этих интервалах.

   Следовательно, точки возрастания функции находятся в интервалах (0, 2) и (2, +∞), а точки убывания - на интервале (-∞, 0).