Question

(x-3)⁴*(x+2)⁵*(x-7)²*(x-10)<0. помогите пожалуйста решите неравенство даю 33балла ​

Answer 1

Ответ:

$(x-3)^4\cdot (x+2)^5\cdot (x-7)^2\cdot (x-10)$

Решаем методом интервалов. Считаем знаки функции, стоящей в левой части, на числовой оси в промежутках, которые образовались между точками, являющимися нулями функции.

Знаки:   $+++(-2)---(3)---(7)---(10)+++$

             $x\in (-2;\, 3\, )\cup (\ 3\ ;\ 7\ )\cup (\ 7\ ,\ 10\, )$

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, мы должны найти интервалы, на которых выражение (x-3)^4*(x+2)^5*(x-7)^2*(x-10) меньше нуля. Для этого мы будем использовать метод интервалов и таблицу знаков.

1. Найдем критические точки, где выражение равно нулю:

   a) x - 3 = 0, x = 3 b) x + 2 = 0, x = -2 c) x - 7 = 0, x = 7 d) x - 10 = 0, x = 10

2. Разбиваем ось x на интервалы, используя найденные критические точки:

   Интервал 1: (-∞, -2) Интервал 2: (-2, 3) Интервал 3: (3, 7) Интервал 4: (7, 10) Интервал 5: (10, +∞)

3. Выберем тестовую точку из каждого интервала и определим знак выражения в этой точке. Мы будем использовать x = 0 для интервала 1, x = -1 для интервала 2, x = 5 для интервала 3, x = 8 для интервала 4 и x = 11 для интервала 5.

   Интервал 1: (x-3)^4*(x+2)^5*(x-7)^2*(x-10) = (0-3)^4*(-2+2)^5*(-7-7)^2*(-10-10) = -3^40(-14)^2*(-20) = 0 Интервал 2: (x-3)^4*(x+2)^5*(x-7)^2*(x-10) = (-1-3)^4*(-1+2)^5*(-1-7)^2*(-1-10) = (-4)^41(-8)^2*(-11) = 4096 Интервал 3: (x-3)^4*(x+2)^5*(x-7)^2*(x-10) = (5-3)^4*(5+2)^5*(5-7)^2*(5-10) = 2^47^5(-2)^2*(-5) = -125440 Интервал 4: (x-3)^4*(x+2)^5*(x-7)^2*(x-10) = (8-3)^4*(8+2)^5*(8-7)^2*(8-10) = 5^410^51*(-2) = -500000 Интервал 5: (x-3)^4*(x+2)^5*(x-7)^2*(x-10) = (11-3)^4*(11+2)^5*(11-7)^2*(11-10) = 8^413^54*1 = 133732864

4. Теперь посмотрим на знаки внутри каждого интервала:

   • Интервал 1: Внутри интервала значение выражения равно 0.
   • Интервал 2: Внутри интервала значение выражения положительное (4096).
   • Интервал 3: Внутри интервала значение выражения отрицательное (-125440).
   • Интервал 4: Внутри интервала значение выражения отрицательное (-500000).
   • Интервал 5: Внутри интервала значение выражения положительное (133732864).

5. Мы видим, что выражение меняет знак при переходе через корни x = -2, x = 3, x = 7 и x = 10. Теперь мы можем собрать информацию об интервалах, в которых выражение меньше нуля:

   • Интервал 1: ( -∞, -2 ) - выражение равно 0, не меньше нуля.
   • Интервал 2: ( -2, 3 ) - выражение положительное, не меньше нуля.
   • Интервал 3: ( 3, 7 ) - выражение отрицательное, меньше нуля.
   • Интервал 4: ( 7, 10 ) - выражение отрицательное, меньше нуля.
   • Интервал 5: ( 10, +∞ ) - выражение положительное, не меньше нуля.

Таким образом, неравенство (x-3)^4*(x+2)^5*(x-7)^2*(x-10) < 0 выполняется на интервалах (3, 7) и (7, 10).