Question

Довести, что многочлен х³ + 3х² - 5 не делится нацело на многочлен х - 1

Answer 1

Если многочлен делится нацело на другой многочлен, то корни второго являются корнями первого

х - 1 = 0

х = 1 корень второго, подставляем в первый x³ + 3x² - 5

1³ + 3*1² - 5 = -1 ≠ 0

1 - не корень первого

значит многочлен х³ + 3х² - 5 не делится нацело на многочлен х - 1

Answer 2

Для доказательства того, что многочлен x³ + 3x² - 5 не делится нацело на многочлен x - 1, мы можем воспользоваться теоремой о делении многочленов (теоремой Безу).

Теорема Безу гласит следующее: Если многочлен f(x) делится нацело на многочлен g(x), то существует такой многочлен q(x), что f(x) = g(x) * q(x).

В данном случае, f(x) = x³ + 3x² - 5 и g(x) = x - 1. Мы хотим доказать, что f(x) не делится нацело на g(x).

Допустим, что f(x) делится нацело на g(x), тогда по теореме Безу существует многочлен q(x) такой, что:

x³ + 3x² - 5 = (x - 1) * q(x)

Теперь мы можем воспользоваться синтетическим делением или долгим делением для нахождения q(x).

Сначала делим x³ на x:

x³ / (x - 1) = x²

Теперь умножаем x - 1 на x²:

x² * (x - 1) = x³ - x²

Теперь вычитаем результат из исходного многочлена:

(x³ + 3x² - 5) - (x³ - x²) = 3x² - 5 + x² = 4x² - 5

Теперь у нас есть многочлен 4x² - 5, и мы продолжаем деление:

(4x² - 5) / (x - 1)

Снова делим первый член 4x² на x:

4x² / (x - 1) = 4x

Теперь умножаем x - 1 на 4x:

4x * (x - 1) = 4x² - 4x

Теперь вычитаем результат из оставшегося многочлена:

(4x² - 5) - (4x² - 4x) = -5 + 4x - (-4x) = -5 + 4x + 4x = 8x - 5

Теперь у нас есть многочлен 8x - 5. Продолжаем деление:

(8x - 5) / (x - 1)

Снова делим 8x на x:

8x / (x - 1) = 8

Теперь умножаем x - 1 на 8:

8 * (x - 1) = 8x - 8

Теперь вычитаем результат из оставшегося многочлена:

(8x - 5) - (8x - 8) = 8x - 5 - 8x + 8 = 8 - 5 + 8 = 3

Теперь у нас остался многочлен 3, и это уже не допускается по теореме Безу. Это означает, что исходный многочлен x³ + 3x² - 5 не делится нацело на x - 1.

Таким образом, мы доказали, что многочлен x³ + 3x² - 5 не делится нацело на многочлен x - 1.