Question

Знайдіть три числа, які становлять геометричну прогресію, знаючи, що їх сума дорівнює 21, а добуток – 216.​ Будьте добры, помогите!!!​

Answer 1

Решение:

Запишем уравнения данные в условие.

a - элементы геометрической прогрессии.

q - константа.

b1*b2*b3=216

b1+b2+b3=21

b2=b1*q

b3=b1*q^2

b1+b1*q+b1*q^2=b1(1+q+q^2)=21

b1*(b1*q)*(b1*q^2)=b1^3*q^3=216

b1=$\sqrt[3]{\frac{216}{q^{3} } } =\frac{6}{q}$

Подставляем это в первое уравнение.

$\frac{6}{q} *(1+q+q^2)=21$

$\frac{6}{q}+6+6q=21$

Домножим всё уравнение на q

$></p> <p>Дальше вычисляем корни квадратного уравнения.</p> <p>D=225-4*6*6=81</p> <p>q1=<img src=$

q2=$\frac{15-\sqrt{81} }{12} =\frac{1}{2}$

Но т.к $\frac{1}{2}$ это коэффициент уменьшающейся прогрессии, то нам нужен q=2.

Теперь можно спокойно подставлять в одно и первых уравнений и выводить b1.

Например

b1(1+q+q^2)=21

b1(1+2+4)=7*b1=21

b1=3

b2=b1*q=6

b3=b1*q^2=12

Теперь у нас есть 3 элемента.

Проверяем

3+6+12=21

3*6*12=216

Всё сходится.

Ответ: 3;6;12

Answer 2

Давайте позначимо три числа у геометричній прогресії як a, ar і ar^2, де "a" - перший член, "r" - знаменник прогресії. За вашими умовами ми знаємо дві речі:

1. Сума чисел дорівнює 21:

a + ar + ar^2 = 21

2. Добуток чисел дорівнює 216:

a * ar * ar^2 = 216

Тепер ми можемо використовувати ці два рівняння для вирішення системи. Давайте спробуємо вирішити їх.

Спершу розглянемо добуток:

a * ar * ar^2 = 216

Поділімо обидві сторони на "a", щоб спростити рівняння:

ar * ar^2 = 216

ar^3 = 216

Тепер поділімо обидві сторони на "a":

r^3 = 216 / a

Тепер ми маємо вираз для r^3 у термінах "a".

Тепер розглянемо суму:

a + ar + ar^2 = 21

Ми знаємо, що r^3 = 216 / a, отже:

a + ar + (216 / a) = 21

Помножимо обидві сторони на "a", щоб позбавитися від знаменника:

a^2 + ar^2 + 216 = 21a

Тепер ми можемо використовувати вираз для r^3, який ми знайшли раніше:

a^2 + (216 / a) + 216 = 21a

Перенесемо все на одну сторону:

a^2 - 21a + 216/a + 216 = 0

Тепер ми маємо квадратне рівняння, яке можемо розв'язати для "a". Давайте спробуємо розв'язати його.

a^2 - 21a + 216/a + 216 = 0

a^2 - 21a + (216 + 216/a) = 0

a^2 - 21a + (216a/a + 216/a) = 0

a^2 - 21a + (216a + 216) / a = 0

a^2 - 21a + (216a + 216) = 0

a^2 - 21a + 216a + 216 = 0

a^2 + 195a + 216 = 0

(a + 24)(a + 9) = 0

Звідси ми бачимо два можливих значення для "a":

1. a + 24 = 0 => a = -24
2. a + 9 = 0 => a = -9

Тепер, коли ми знаємо значення "a", ми можемо знайти значення "r" за допомогою виразу r^3 = 216 / a:

Для a = -24: r^3 = 216 / (-24) r^3 = -9 r = -3

Для a = -9: r^3 = 216 / (-9) r^3 = -24 r = -2

Тепер у нас є два набори чисел у геометричній прогресії:

1. a = -24, r = -3 Перший член: -24 Другий член: -24 * -3 = 72 Третій член: 72 * -3 = -216

2. a = -9, r = -2 Перший член: -9 Другий член: -9 * -2 = 18 Третій член: 18 * -2 = -36

Отже, у вас є два набори чисел у геометричній прогресії: (-24, 72, -216) і (-9, 18, -36).