Question

Знайдіть екстремуми функції f(х)=1/3х³-2x². Допоможіть будь-ласка благаю вас плиззз плиззз срочно плиззз плиззз плиззз

Answer 1

Ответ:

f(х)=1/3х³-2x²

D(y) = R

f'(x)= x^2 - 4x

x^2 - 4x =0

x(x-4) =0

x1= 0 ; x2=4. -- критичні точки

Xmax = 0 ; Xmin = 4

Ymax = 0. ; Ymin = - 32/3

Answer 2

Для знаходження екстремумів функції $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2$, спершу знайдемо похідну цієї функції та знайдемо точки, в яких похідна дорівнює нулю. Екстремуми можуть бути локальними мінімумами або максимумами, або точками перегину.

1. Знайдемо похідну функції $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - 2x^2\right).$

Використовуючи правила похідних, отримуємо: $f'(x) = x^2 - 4x.$

2. Знайдемо точки, в яких $f'(x) = 0$: $x^2 - 4x = 0.$

Факторизуємо ліву частину: $x(x - 4) = 0.$

З цього рівняння видно, що дві можливі точки, в яких похідна дорівнює нулю, це $x = 0$ і $x = 4$.

3. Тепер ми повинні визначити, які з цих точок є мінімумами, максимумами або точками перегину. Для цього використовуємо тест знаків.

3.1. Розглянемо інтервали між цими точками:

• Інтервал від $-\infty$ до 0. Виберемо точку $x = -1$ в цьому інтервалі і підставимо її в $f'(x)$: $f'(-1) = (-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5$. Оскільки $f'(-1) > 0$, то $f(x)$ зростає на цьому інтервалі.

• Інтервал від 0 до 4. Виберемо точку $x = 2$ в цьому інтервалі і підставимо її в $f'(x)$: $f'(2) = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. Оскільки $f'(2) < 0$, то $f(x)$ спадає на цьому інтервалі.

• Інтервал від 4 до $+\infty$. Виберемо точку $x = 5$ в цьому інтервалі і підставимо її в $f'(x)$: $f'(5) = 5^2 - 4(5) = 25 - 20 = 5$. Оскільки $f'(5) > 0$, то $f(x)$ зростає на цьому інтервалі.

За тестом знаків маємо:

• $f'(x)$ зростає на $(-\infty, 0)$.
• $f'(x)$ спадає на $(0, 4)$.
• $f'(x)$ зростає на $(4, +\infty)$.

Таким чином, точка $x = 0$ є максимумом, а точка $x = 4$ є мінімумом функції $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2$.

Для знаходження відповідних значень функції $f(x)$ в цих точках, підставимо їх в початкову функцію:

• Для максимуму (пік): $f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - 2(0)^2 = 0$.

• Для мінімуму: $f(4) = \frac{1}{3}(4)^3 - 2(4)^2 = \frac{64}{3} - 32 = \frac{64 - 96}{3} = \frac{-32}{3}$.

Таким чином, максимум функції рівний 0, а мінімум рівний $-\frac{32}{3}$.