Question

ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ, ОТДАЮ ВСЕ БАЛЛЫ КОТОРЫЕ ЕСТЬ! Исследуйте функцию на выпуклость и точки перегиба: y=x^4 - 4x^3 - 18x^2 + x - 3

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y=x⁴ - 4x³ - 18x² + x - 3

Найдем вторую производную, ее нули и промежутки знакопостоянства

y'=4x³ - 12x² - 36x + 1

y''=12x² - 24x - 36=12(x² - 2x - 3)

y''=12(x² - 2x - 3)

y''=0

12(x² - 2x - 3)=0

x² - 2x - 3=0

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b² - 4ac = (-2)² - 4·1·(-3) = 4 + 12 = 16

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

x₁ =   (2 - √16) /2  =   (2 - 4 )/2  =   -2 /2  = -1

x₂ =   (2 + √16) /2  =  ( 2 + 4)/ 2  =   6 /2  = 3

нанесем корни на числовую прямую и определим знак второй производной на каждом интервале

---------------------(-1)-------------------3----------------->

по свойству квадратичной функции если коэффициент при х² больше 0 то ветки параболы направлены вверх в нашем случае коэффициент равен 12>0

тогда знаки квадратичной функции на интервалах будут (+)  (-) (+)

---------------------(-1)-------------------3----------------->

    (+)                            (-)                       (+)

    Y''>0                      Y''<0                   Y''>0  

если Y''>0    то график функции   вогнут вниз    

если Y''<0    то график функции  выпуклый вверх    

точки где Y''=0 и вторая производная меняет знак  это точки перегиба

таким образом

1) при х∈(-∞; -1)∪(3;+∞) y''>0 график функции вогнутый вниз

2) при х∈(--1;3) y''<0 график функции выпуклый вверх

3) точки с абсциссами х={-1;3}  это точки перегиба

Иллюстрация к задаче на картинке

             

  

Answer 2

Давайте исследуем данную функцию на выпуклость и точки перегиба. Чтобы найти точки перегиба, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдем вторую производную функции y(x).
2. Решим уравнение для точек перегиба, где вторая производная равна нулю.
3. Проверим вторую производную на знак, чтобы определить выпуклость и вогнутость функции.

Первая производная функции y(x) будет:

y'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 36x + 1

Вторая производная функции y(x) будет:

y''(x) = 12x^2 - 24x - 36

Теперь найдем точки перегиба, решив уравнение y''(x) = 0:

12x^2 - 24x - 36 = 0

Далее, решим это уравнение. Мы можем разделить все его члены на 12:

x^2 - 2x - 3 = 0

Затем, факторизуем это уравнение:

(x - 3)(x + 1) = 0

Теперь мы имеем два значения x:

x1 = 3 x2 = -1

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y(x), подставим эти x в исходное уравнение y(x):

y(3) = 3^4 - 4 * 3^3 - 18 * 3^2 + 3 - 3 = 81 - 108 - 162 + 3 - 3 = -189

y(-1) = (-1)^4 - 4 * (-1)^3 - 18 * (-1)^2 - 1 - 3 = 1 + 4 - 18 - 1 - 3 = -17

Итак, у нас есть две точки перегиба: (3, -189) и (-1, -17).

Теперь давайте определим выпуклость и вогнутость функции, анализируя знак второй производной y''(x). Вторая производная y''(x) равна 12x^2 - 24x - 36. Эта квадратичная функция является положительной при x < -1 и x > 3, и отрицательной при -1 < x < 3.

Значит, функция y(x) выпукла в интервалах (-бесконечность, -1) и (3, +бесконечность), и вогнута в интервале (-1, 3).

Таким образом, точки перегиба находятся в (3, -189) и (-1, -17), и функция выпукла в интервалах (-бесконечность, -1) и (3, +бесконечность), а также вогнута в интервале (-1, 3).