Question

Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ. (а) х^2-5х<0(b) 9х^2-12х+4=>0(с) -х^2-9х-22=>0(d) х^2+7х-44=>0​

Answer 1

Ответ:

В решении.

Объяснение:

Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ.

а) х^2-5х<0

b) 9х^2-12х+4=>0

с) -х^2-9х-22=>0

d) х^2+7х-44=>0

1) Неравенство не имеет решений  

2) Решением неравенства является вся числовая прямая.  

3) Решением неравенства является одна точка.  

4) Решением неравенства является закрытый промежуток.  

5) Решением неравенства является открытый промежуток.  

6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.  

а) х² - 5х < 0

Приравнять к нулю и решить как неполное квадратное уравнение:

х² - 5х = 0

х(х - 5) = 0

х₁ = 0;

х - 5 = 0

х₂ = 5;

Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= 0 и х= 5, отметить эти точки схематично, смотрим на график.  

По графику ясно видно, что у < 0 (как в неравенстве), при значениях х от 0 до х = 5.  

Решение неравенства: х∈ (0; 5). Ответ 4.

Неравенство строгое, скобки круглые.

b) 9х² - 12х + 4 >= 0

Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:

9х² - 12х + 4 = 0

D=b²-4ac = 144 - 144 = 0        √D=0

х₁,₂=(-b±√D)/2a                  

х₁,₂=12/18

х₁,₂= 2/3.

Уравнение квадратичной функции, график - парабола со смещённым центром, ветви направлены вверх.

Так как корень один, парабола "стоит" на оси Ох и соприкасается с ней в точке х = 2/3.

Область определения этой функции ничем не ограничена, х может принимать любое значение.

Решение неравенства: х∈(-∞; +∞). Ответ 2.

с) -х² - 9х - 22 >= 0

Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:

-х² - 9х - 22 = 0/-1

х² + 9х + 22 = 0

D=b²-4ac = 81 - 88 = -7        

D < 0

Уравнение не имеет действительных корней.

Значит, неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда.  

Подставить в неравенство произвольное значение х:  

х = 0;

-0² - 9*0 - 22 >= 0

-22 >= 0, не удовлетворяет.

Неравенство не имеет решений. Ответ 1.

d) х² + 7х - 44 >= 0

Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:

х² + 7х - 44 = 0

D=b²-4ac = 49 + 176 = 225         √D=15

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(-7-15)/2

х₁= -22/2

х₁= -11;                  

х₂=(-b+√D)/2a  

х₂=(-7+15)/2

х₂=8/2

х₂=4.

Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -11 и х= 4, отметить эти точки схематично, смотрим на график.  

По графику ясно видно, что у >= 0 (как в неравенстве), при значениях х от - бесконечности до -11 и от х = 4 до + бесконечности.  

Решение неравенства: х∈ (-∞; -11] ∪ [4; +∞). Ответ 6.

Неравенство нестрогое, скобки квадратные, а знаки бесконечности всегда с круглой скобкой.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из неравенств и найдем соответствующий вывод, опираясь на их факторизацию:

(a) x^2 - 5x < 0

Для этого неравенства, сначала факторизуем его:

x(x - 5) < 0

Теперь мы видим, что у нас есть два множителя, x и (x - 5). Чтобы неравенство было отрицательным, один из них должен быть положительным, а другой отрицательным. Это происходит, когда x находится между 0 и 5:

0 < x < 5

Ответ: 0 < x < 5.

(b) 9x^2 - 12x + 4 ≥ 0

Для этого неравенства также факторизуем его:

(3x - 2)(3x - 2) ≥ 0

Теперь мы видим, что у нас есть два одинаковых множителя, (3x - 2)(3x - 2), и они всегда будут положительными. Таким образом, неравенство будет верным для любого значения x.

Ответ: неравенство верно для всех значений x.

(c) -x^2 - 9x - 22 ≥ 0

Для этого неравенства также факторизуем его:

-(x^2 + 9x + 22) ≥ 0

Теперь давайте решим уравнение внутри скобок:

x^2 + 9x + 22 = 0

Это уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицателен. Таким образом, неравенство -x^2 - 9x - 22 ≥ 0 верно для всех значений x.

Ответ: неравенство верно для всех значений x.

(d) x^2 + 7x - 44 ≥ 0

Для этого неравенства также факторизуем его:

(x + 11)(x - 4) ≥ 0

Теперь мы видим, что у нас есть два множителя, (x + 11) и (x - 4). Чтобы неравенство было верным, один из них должен быть положительным, а другой отрицательным. Это происходит, когда x < -11 или x > 4.

Ответ: x < -11 или x > 4.