Question

Хелп Решите неравенство log3 (1/x) + log3 (x^2+3x-9)<= log3 (x^2+3x+(1/x)-10)

Answer 1

Ответ:

[ 2; +∞)

Объяснение:

Решить неравенство:

$log{_3}\left(\dfrac{1}{x} \right)+log{_3}(x^{2} +3x-9)\leq log{_3}(x^{2} +3x+\dfrac{1}{x} -10)$

$log{_3}\left(x^{-1} \right)+log{_3}(x^{2} +3x-9)\leq log{_3}(x^{2} +3x+\dfrac{1}{x} -10);\\-log{_3}\left x +log{_3}(x^{2} +3x-9)\leq log{_3}(x^{2} +3x+\dfrac{1}{x} -10);$

$log{_3}(x^{2} +3x-9)\leq log{_3}(x^{2} +3x+\dfrac{1}{x} -10)+log{_3}x$

Преобразуем правую часть, используя свойства логарифмов  

$log{_a}b+log{_a}c= log {_a}(bc),\\a > 0, a\neq 1,b > 0, c > 0$

$\left \{\begin{array}{l} x > 0, \\ log{_3}(x^{2} +3x-9)\leq log{_3}(x^{3} +3x^{2} +1-10x);\end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} x > 0, \\ x^{2} +3x-9 > 0\\ x^{2} +3x-9\leq x^{3} +3x^{2} -10x+1\end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} x > 0, \\ x^{2} +3x-9 > 0,\\ x^{2} +3x-9- x^{3} -3x^{2} +10x-1\leq 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} x > 0, \\ x^{2} +3x-9 > 0,\\ - x^{3} -2x^{2} +13x-10\leq 0\end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} x > 0, \\ x^{2} +3x-9 > 0,\\ x^{3} +2x^{2} -13x+10\geq 0\end{array} \right.$

Разложим многочлен $x^{3} +2x^{2} -13x+10$ на множители

$x^{3} +2x^{2} -13x+10=x^{3} -1+2x^{2} -13x+11$

Разложим квадратный трехчлен на множители. Для этого решим квадратное уравнение

$2x^{2} -13x+11=2\left(x-\dfrac{11}{2}\right )(x-1)=(2x-11)(x-1) \\2x^{2} -13x+11=0;\\D=(-13) ^{2} -4\cdot 2\cdot11= 169- 88=81=9^{2} ;\\\\x{_1}= \dfrac{13-9}{2\cdot2} =\dfrac{4}{4} =1;\\\\x{_1}= \dfrac{13+9}{2\cdot2} =\dfrac{22}{4} =\dfrac{11}{2} .$

Тогда получим

$x^{3} +2x^{2} -13x+10=(x^{3} -1)+(2x^{2} -13x+11)=(x-1)( x^{2} +x+1) +\\+(2x-11)(x-1)=(x-1)( x^{2} +x+1+2x-11)=(x-1) (x^{2} +3x-10)$

Разложим квадратный трехчлен и закончим разложение

$x^{2} +3x-10=0;\\D =3^{2} -4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49=7^{2} ;\\\\x{_1}=\dfrac{-3-7}{2} =-\dfrac{10}{2} =-5;\\\\x{_2}=\dfrac{-3+7}{2} =\dfrac{4}{2} =2;\\\\x^{2} +3x-10=(x+5)(x-2)$

Тогда последнее неравенство примет вид:

$(x-1)(x-2)(x+5)\geq 0.$

И получим равносильную систему:

$\left \{\begin{array}{l} x > 0, \\ x^{2} +3x-9 > 0,\\ (x-1)(x-2)(x+5) \geq 0\end{array} \right.$

Решим второе и третье неравенства методом интервалов

$x^{2} +3x-9 > 0;\\x^{2} +3x-9=0\\D =3^{2} -4\cdot1\cdot(-9) =9+36=45 =9\cdot5 ;\\\sqrt{D } =3\sqrt{5} ;\\\\x{_1}= \dfrac{-3-3\sqrt{5} }{2} ;\\\\x{_2}= \dfrac{-3+3\sqrt{5} }{2}$

Определим знак (во вложении ) и получим

$\left[\begin{array}{l} x < \dfrac{-3-3\sqrt{5} }{2} , \\ \\x > \dfrac{-3+3\sqrt{5} }{2} .\end{array} \right.$

$(x-1)(x-2)(x+5)\geq 0.$

Определим знак ( во вложении)  и получим

$\left[\begin{array}{l} -5\leq x\leq 1, \\ x\geq 2 \end{array} \right.$

Так как х > 0, то найдем общее решение системы ( во вложении ) и получим $x\geq 2$.

#SPJ5

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы начнем с использования свойств логарифмов и применения базы 3, как указано в вашем неравенстве.

Исходное неравенство:

log₃(1/x) + log₃(x^2 + 3x - 9) ≤ log₃(x^2 + 3x + (1/x) - 10)

Мы можем воспользоваться свойством логарифмов, которое гласит, что:

logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b * c)

И преобразовать левую сторону неравенства:

log₃(1/x) + log₃(x^2 + 3x - 9) = log₃((1/x) * (x^2 + 3x - 9))

Теперь у нас есть следующее неравенство:

log₃((1/x) * (x^2 + 3x - 9)) ≤ log₃(x^2 + 3x + (1/x) - 10)

Далее, мы можем применить свойство логарифмов, которое гласит, что если logₐ(b) ≤ logₐ(c), то b ≤ c. Это означает, что выражения внутри логарифмов должны быть равными:

(1/x) * (x^2 + 3x - 9) = x^2 + 3x + (1/x) - 10

Теперь давайте решим это уравнение:

1. Умножим обе стороны на x, чтобы избавиться от дроби:

x^2 + 3x - 9 = x^3 + 3x^2 - 10x

2. Переносим все члены на одну сторону уравнения:

x^3 + 3x^2 - 10x - x^2 - 3x + 9 = 0

3. Упростим:

x^3 + 2x^2 - 13x + 9 = 0

4. Решим это уравнение. Поиск корней уравнения может потребовать использования численных методов или графического анализа.

Как только найдутся корни этого уравнения, можно будет проверить, в каких интервалах выполняется исходное неравенство:

log₃(1/x) + log₃(x^2 + 3x - 9) ≤ log₃(x^2 + 3x + (1/x) - 10)

Важно помнить, что логарифм определен только для положительных аргументов, поэтому найденные корни x должны быть положительными и соответствовать ограничениям исходных логарифмов.