Question

Исследовать функцию 1/3x^3+x^2(15 баллов!!)​

Answer 1

Ответ:

ответ на фото

Объяснение:

$\frac{ {1}^{3} }{3x} + {x}^{2} = \frac{1}{3x} + {x}^{2} = \frac{ {1 + 3x}^{3} }{3x}$

Answer 2

Для исследования функции f(x) = (1/3)x^3 + x^2, мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найдем производные функции: f'(x) (первая производная) = d/dx [(1/3)x^3 + x^2] = x^2 + 2x f''(x) (вторая производная) = d/dx [x^2 + 2x] = 2x + 2

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю: x^2 + 2x = 0

   Решим это уравнение: x(x + 2) = 0

   Это уравнение имеет два решения: x = 0 и x = -2

3. Определим интервалы увеличения и уменьшения функции, используя производную. Мы знаем, что:

   • Если f'(x) > 0 на интервале, то функция возрастает на этом интервале.
   • Если f'(x) < 0 на интервале, то функция убывает на этом интервале.

   Давайте проверим интервалы:

   • Для x < -2, f'(-3) = (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3 > 0, значит, функция возрастает на этом интервале.
   • Для -2 < x < 0, f'(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 < 0, значит, функция убывает на этом интервале.
   • Для x > 0, f'(1) = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3 > 0, значит, функция возрастает на этом интервале.

4. Определим точки экстремума. Мы видим, что x = 0 является критической точкой. Для определения типа экстремума, используем вторую производную:

   • Если f''(x) > 0 в критической точке, то это точка минимума.
   • Если f''(x) < 0 в критической точке, то это точка максимума.

   Проверим:

   • f''(0) = 2(0) + 2 = 2 > 0, значит, x = 0 - точка минимума.

5. Найдем значения функции в критических точках и точке экстремума:

   • f(0) = (1/3)(0)^3 + (0)^2 = 0
   • f(-2) = (1/3)(-2)^3 + (-2)^2 = -8/3 + 4 = 4/3

6. Найдем пределы функции при x стремящемся к плюс и минус бесконечности:

   • lim (x -> +∞) f(x) = +∞
   • lim (x -> -∞) f(x) = -∞

7. Исследуем поведение функции на бесконечностях и в точке экстремума. Мы видим, что функция стремится к плюс и минус бесконечности на бесконечностях и имеет минимум в x = 0.

8. Нарисуем график функции, используя полученную информацию:

   • Функция возрастает на интервалах (-∞, -2) и (0, +∞).
   • Функция убывает на интервале (-2, 0).
   • Точка минимума находится в x = 0.

   График будет иметь форму убывающей параболы, которая достигает минимума в точке (0, 0).

   Помните, что это всего лишь краткое исследование функции, и оно может быть дополнено более подробным анализом при необходимости.