Question

Полное исследование графика функции ((x^2 - 1)/(x-1)). надо исследовать эту функцию. не надо сперва сокращать и потом из этого х+1 функцию исследовать. учитель сказал что это другая функция и ((x^2 - 1)/(x-1) тоже другая функция.

Answer 1

Начало исследования функции - нахождение области определения. Мы видим, что это линейная функция,заданная при всех х, кроме 1.

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим функцию f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) и проведем ее исследование.

1. Определение области определения: Функция f(x) определена для всех значений x, кроме x = 1, так как в этом случае знаменатель обращается в ноль и функция не определена.

2. Найдем вертикальные асимптоты: Чтобы найти вертикальные асимптоты, решим уравнение x - 1 = 0. Получаем x = 1, что означает, что у функции есть вертикальная асимптота x = 1.

3. Найдем горизонтальные асимптоты: Чтобы найти горизонтальные асимптоты, рассмотрим предел функции при x стремящемся к бесконечности и минус бесконечности. При x -> ∞, (x^2 - 1)/(x - 1) = (x^2/x)/((x - 1)/x) = x/(1 - 1/x) = x/1 = x. Таким образом, у функции есть горизонтальная асимптота y = x при x -> ∞. При x -> -∞, (x^2 - 1)/(x - 1) = (x^2/x)/((x - 1)/x) = x/(1 - 1/x) = x/1 = x. Таким образом, у функции есть горизонтальная асимптота y = x при x -> -∞.

4. Найдем точки пересечения с осями координат: Чтобы найти точки пересечения с осью Ox, решим уравнение f(x) = 0. (x^2 - 1)/(x - 1) = 0 x^2 - 1 = 0 (x - 1)(x + 1) = 0 x = 1 или x = -1. Таким образом, функция пересекает ось Ox в точках (1, 0) и (-1, 0).

5. Найдем производную функции: Для этого используем правило дифференцирования частного функций. f'(x) = [(x - 1)(2x) - (x^2 - 1)(1)]/(x - 1)^2 f'(x) = (2x^2 - 2x - x^2 + 1)/(x - 1)^2 f'(x) = (x^2 - 2x + 1)/(x - 1)^2 f'(x) = (x - 1)^2/(x - 1)^2 f'(x) = 1

6. Найдем точки экстремума: Так как производная функции f'(x) равна константе 1, то у функции нет точек экстремума.

7. Найдем точки перегиба: Для этого рассмотрим вторую производную функции. f''(x) = 2(x - 1)/(x - 1)^2 f''(x) = 2/(x - 1) Уравнение f''(x) = 0 не имеет решений. Значит, у функции нет точек перегиба.

8. Нарисуем график функции: График функции будет проходить через точки (-1, 0) и (1, 0). Он будет иметь вертикальную асимптоту x = 1 и горизонтальные асимптоты y = x при x -> ∞ и x -> -∞. График будет стремиться к вертикальной асимптоте, когда x будет приближаться к 1. Также, график будет монотонно возрастать или убывать на всей области определения, так как производная равна 1. Визуализация графика функции поможет лучше понять ее поведение и свойства.

Итак, проведя исследование функции f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1), мы определили ее область определения, точки пересечения с осями координат, вертикальные и горизонтальные асимптоты, производную, точки экстремума и перегиба. Также, мы построили график функции для наглядного представления ее поведения.