Question

Электронные устройства, работающие независимо друг от друга, на выходе производят 0, 1 или 3 вольт. Вероятность выхода каждого устройства равна , и соответственно. Случайная величина X обозначает сумму выходов, взятых двух любых устройств. а) Постройте закон распределения вероятности случайно величины X; b) В процессе 360 наблюдений найдите, в скольких случаях можно ожидать результат в 1 вольт?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Как я понял, устройства все одинаковые.

С вероятностью p1= 1/2 они дают 0, с p2=1/3 дают 1 В, и с p3=1/6 дают 3 В.

А) Сумма 2 выходов означает, что одно устройство выдаст U1, а другое U2.

Вероятность, что произойдет именно два таких выхода одновременно, равна произведению вероятностей каждого из выходов.

0+0=0: p1*p1=1/2*1/2=1/4

0+1=1: p1*p2=1/2*1/3=1/6

0+3=3: p1*p3=1/2*1/6=1/12

1+0=1: p2*p1=1/3*1/2=1/6

1+1=2: p2*p2=1/3*1/3=1/9

1+3=4: p2*p3=1/3*1/6=1/18

3+0=3: p3*p1=1/6*1/2=1/12

3+1=4: p3*p2=1/6*1/3=1/18

3+3=6: p3*p3=1/6*1/6=1/36

Для проверки сложим все эти вероятности, сумма должна быть 1.

1/4+1/6+1/12+1/6+1/9+1/18+1/12+1/18+1/36 =

= 9/36+6/36+3/36+6/36+4/36+2/36+3/36+2/36+1/36 =

= (9+6+3+6+4+2+3+2+1)/36 = 36/36 = 1

Все правильно.

Б) Результат в 1 В может получиться двумя способами:

1 = 0+1 = 1+0

Вероятности одинаковые, 1/6 и 1/6.

Поэтому суммарная вероятность равна

P(1) = 1/6+1/6 = 1/3

Из 360 испытаний получится примерно 360/3 = 120 испытаний с таким результатом.

Ответ: 120

Answer 2

Давайте рассмотрим возможные значения случайной величины X, которая представляет собой сумму выходов двух независимых устройств, каждое из которых может принимать значения 0, 1 или 3 вольта. Возможные комбинации значений X:

1. 0 + 0 = 0 вольт
2. 0 + 1 = 1 вольт
3. 0 + 3 = 3 вольта
4. 1 + 0 = 1 вольт
5. 1 + 1 = 2 вольта
6. 1 + 3 = 4 вольта
7. 3 + 0 = 3 вольта
8. 3 + 1 = 4 вольта
9. 3 + 3 = 6 вольт

Теперь вычислим вероятность каждого значения:

1. P(X = 0) = P(0 + 0) = $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
2. P(X = 1) = P(0 + 1) + P(1 + 0) = $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$
3. P(X = 2) = P(1 + 1) = $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
4. P(X = 3) = P(0 + 3) + P(3 + 0) = $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$
5. P(X = 4) = P(1 + 3) + P(3 + 1) = $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$
6. P(X = 6) = P(3 + 3) = $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

Теперь мы можем ответить на вопрос (b). Для этого сложим вероятности тех случаев, когда X равно 1 вольту:

$P(X = 1) = \frac{2}{9}$

Теперь найдем количество случаев в процессе 360 наблюдений:

$\text{Количество случаев} = P(X = 1) \times \text{Количество наблюдений}$

$\text{Количество случаев} = \frac{2}{9} \times 360$

$\text{Количество случаев} = 80$

Таким образом, ожидается, что в 80 случаях из 360 результат будет равен 1 вольту.