Question

Три кола попарно мають зовнішній дотик. Відрізки, що сполучають їх центри, утворюють трикутник зі сторонами 5 см, 7 см і 8 см. Знайти радіуси цих кіл.

Answer 1

Ответ:

Периметр этого треугольника равен:

5+7+8=20см

20/2=10 ( так как в каждой окружности проведено 2 радиуса)

10-7=3см

10-5= 5см

10-8=2 см

Ответ: 3, 2, 5 см

Answer 2

Для знаходження радіусів кожного з трьох кол, ми можемо скористатися теоремою косинусів, так як відомі довжини сторін трикутника.

Теорема косинусів говорить нам, що для будь-якого трикутника зі сторонами a, b і c і кутом між сторонами C (протилежний стороні c), ми можемо знайти кут C, використовуючи наступну формулу:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)$

Ваш трикутник має сторони довжиною 5 см, 7 см і 8 см. Нехай $R_1$, $R_2$, і $R_3$ - радіуси відповідних кол.

Ми можемо позначити $R_1$ як радіус першого кола, $R_2$ - другого кола, і $R_3$ - третього кола.

Знаючи це, ми можемо записати три теореми косинусів для кожного кола:

Для першого кола (сторони 5 см, 7 см, $R_1$): $R_1^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(C_1)$

Для другого кола (сторони 7 см, 8 см, $R_2$): $R_2^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(C_2)$

Для третього кола (сторони 8 см, 5 см, $R_3$): $R_3^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(C_3)$

Тепер ми повинні знайти кути $C_1$, $C_2$, і $C_3$. Ми можемо використовувати тригонометричні функції, щоб це зробити. Оскільки ми знаємо довжини всіх сторін, ми можемо використати косинус кожного кута:

Для $C_1$: $\cos(C_1) = \frac{5^2 + 7^2 - R_1^2}{2 \cdot 5 \cdot 7}$

Для $C_2$: $\cos(C_2) = \frac{7^2 + 8^2 - R_2^2}{2 \cdot 7 \cdot 8}$

Для $C_3$: $\cos(C_3) = \frac{8^2 + 5^2 - R_3^2}{2 \cdot 8 \cdot 5}$

Після знаходження кожного кута $C_1$, $C_2$, і $C_3$, ми можемо використати їх значення, щоб знайти відповідні радіуси $R_1$, $R_2$, і $R_3$, використовуючи рівняння для теореми косинусів.