Question

Помогите, даю 50 баллов Найдите наименьшее целое положительное число n, такое что An=2+22+222+…+2…An=2+22+222+…+2…2 (последнее слагаемое содержит n двоек) делится на 45​

Answer 1

Ответ:

ответ 5

Объяснение:

(2+22+222+2222+22222)=24690

24690 делится на 3 т.к 2+4+6+9= 21

и заканчивается на 0 поэтому делиться на 5

Следовательно оно делиться на 15 и является наименьшим

Answer 2

Для того чтобы найти наименьшее целое положительное число n, такое что An = 2 + 22 + 222 + … + 2...2 (последнее слагаемое содержит n двоек) делится на 45, мы должны рассмотреть, какие числа делятся на 45 и определить, когда последовательность An начнет удовлетворять этому условию.

Чтобы число делилось на 45, оно должно быть кратным как 5, так и 9, так как 5 и 9 являются простыми множителями числа 45.

Сначала давайте рассмотрим кратность 5. Кратность 5 означает, что последние цифры числа должны быть 0 или 5. Последовательность An состоит из сумм последовательных степеней числа 2. Все числа в этой последовательности заканчиваются на 2, и они будут иметь остаток 2 при делении на 5. Это означает, что ни одно число An не будет кратным 5.

Теперь давайте рассмотрим кратность 9. Для того чтобы число было кратным 9, сумма его цифр также должна быть кратной 9. Мы видим, что An состоит из сумм степеней числа 2. Поскольку 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8 и так далее, сумма цифр каждого числа в последовательности будет равна 2 (1-я степень), 4 (2-я степень), 8 (3-я степень) и так далее. Мы видим, что сумма цифр чисел в An будет увеличиваться в геометрической прогрессии.

Теперь нам нужно определить, когда сумма цифр достигнет значения, кратного 9. Мы замечаем, что 2 + 4 + 8 + 16 + ... образует геометрическую прогрессию с первым членом a = 2 и множителем r = 2. Формула для суммы геометрической прогрессии:

S = a * (1 - r^n) / (1 - r),

где S - сумма, a - первый член, r - множитель, n - количество членов.

Мы хотим, чтобы сумма была кратной 9, поэтому:

2 * (1 - 2^n) / (1 - 2) должно быть кратным 9.

Упростим выражение:

2 * (1 - 2^n) / (-1) должно быть кратным 9.

Инвертируем знак:

2 * (2^n - 1) должно быть кратным 9.

Теперь мы видим, что 2^n - 1 должно быть кратным 9. Это означает, что 2^n должно быть на 1 больше кратного 9.

Первые несколько степеней числа 2:

2^1 = 2 2^2 = 4 2^3 = 8 2^4 = 16 2^5 = 32 2^6 = 64

И так далее.

Мы видим, что 2^3 = 8 ближе всего к тому, чтобы быть на 1 больше кратным 9. Поэтому n = 3.

Таким образом, наименьшее целое положительное число n, при котором An делится на 45, равно 3.