Question

Найти частное решение дифференциального уравнения y''-4y'+8y=0, учитывая следующие условия: y(0)=0 и y'(0)=2. Даю 50 баллов.

Answer 1

Ответ:

$y'' - 4y' + 8y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ k {}^{2} - 4k + 8 = 0\\ D = 16 - 32 = - 16\\ k_1 = \frac{4 + \sqrt{ - 16} }{2} = \frac{4 + 4i}{2} = 2 + 2i \\ k_2 = 2 - 2i \\ \\ y = e {}^{2x} (C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x) )$

Общее решение

$y(0) = 0,y'(0) = 2$

$y' = 2 {e}^{2x} (C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x) ) + {e}^{2x} (2C_1 \cos(2x) - 2C_2 \sin(2x) ) = \\ = {e}^{2x} ((2C_1 - 2C_2) \sin(2x) + (2C_2 + 2C_1) \cos(2x))$

$0 = C_2 \\ 2 = 2C_1 + 2C_2 \\ \\ C_2 = 0\\ C_1 = 1$

$y = {e}^{2x} \sin(2x)$

частное решение

Answer 2

Чтобы найти частное решение данного дифференциального уравнения, мы можем воспользоваться методом характеристического уравнения, предполагая, что решение имеет вид y(x) = e^(rx). Затем мы найдем соответствующие значения r, а затем используем начальные условия для определения конкретных значений постоянных.

Данное дифференциальное уравнение имеет вид: y'' - 4y' + 8y = 0

Давайте найдем характеристическое уравнение, подставив y(x) = e^(rx): r^2 - 4r + 8 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта (D):

D = b^2 - 4ac D = (-4)^2 - 4 * 1 * 8 D = 16 - 32 D = -16

Дискриминант отрицателен, поэтому у нас есть два комплексных корня:

r1 = (4 + 4i) r2 = (4 - 4i)

Теперь мы можем записать общее решение дифференциального уравнения: y(x) = C1 * e^(4x) * cos(4x) + C2 * e^(4x) * sin(4x)

Теперь мы можем использовать начальные условия, чтобы найти значения констант C1 и C2. Начальные условия:

y(0) = 0 y'(0) = 2

Подставим их и решим систему уравнений:

y(0) = C1 * e^(0) * cos(0) + C2 * e^(0) * sin(0) = C1 * 1 = C1 = 0

y'(x) = 4C1 * e^(4x) * cos(4x) + 4C2 * e^(4x) * sin(4x)

y'(0) = 4C1 * e^(0) * cos(0) + 4C2 * e^(0) * sin(0) = 4C1 = 4C1 = 4 * 0 = 0

Теперь у нас есть C1 = 0 и C2 = 0, и общее решение уравнения принимает вид:

y(x) = 0

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения с заданными начальными условиями - это y(x) = 0.