Question

При дослідженні жирності молока корів все стадо було розбито на три групи. В першій групі виявилось 70%, в другій 23% і в третій 7% всіх корів. Ймовірність того, що молоко, яке дає окрема корова, має не менше, ніж 4% жирності, для кожної групи корів відповідно рівна 0,6; 0,35 і 0,1. Взята навмання корова дає молоко з жирністю не менше, ніж 4%. Знайти ймовірність того, що ця корова з першої групи.

Answer 1

Відповідь:

0.828

Пояснення:

Нехай подія А є "корова дає молоко з жирністю не менше, ніж 4%"

Події Н1, Н2, Н3 є "корова належить до групи" 1, 2, 3 відповідно

Тоді

Р(Н1)=0.7

Р(Н2)=0.23

Р(Н3)=0.07

Р(А/Н1)=0.6

Р(А/Н2)=0.35

Р(А/Н3)=0.1

Р(А)=Р(А/Н1)Р(Н1)+Р(А/Н2)Р(Н12)+Р(А/Н3)Р(Н3)= 0.6×0.7+0.35×0.23+0.1×0.07=0.5075

За формулою Байєса маємо

Р(Н1/А)=Р(А/Н1)Р(Н1)/Р(А)=0.6×0.7/0.5075=0.828

Answer 2

Для знаходження ймовірності того, що корова належить до першої групи, врахуємо, що загальна ймовірність того, що корова дає молоко з жирністю не менше, ніж 4%, розрахована окремо для кожної групи:

1. Перша група: Ймовірність, що корова з першої групи має молоко з жирністю не менше, ніж 4% = 0,6.

2. Друга група: Ймовірність, що корова з другої групи має молоко з жирністю не менше, ніж 4% = 0,35.

3. Третя група: Ймовірність, що корова з третьої групи має молоко з жирністю не менше, ніж 4% = 0,1.

Тепер знайдемо загальну ймовірність, що обрана навмання корова має молоко з жирністю не менше, ніж 4%. Це буде сума ймовірностей для кожної групи, зважена на їх відсотковий склад:

$\text{Загальна ймовірність} = (0,6 \times 70\%) + (0,35 \times 23\%) + (0,1 \times 7\%)$

Розрахунки:

$\text{Загальна ймовірність} = 0,42 + 0,0805 + 0,007 = 0,5075$

Тепер знайдемо ймовірність того, що корова належить до першої групи:

$\text{Ймовірність з першої групи} = \frac{0,6 \times 70\%}{0,5075}$

Розрахунки:

$\text{Ймовірність з першої групи} \approx \frac{0,42}{0,5075} \approx 0,827$

Отже, ймовірність того, що обрана навмання корова належить до першої групи, приблизно 0,827 або 82,7%.