Question

Знайти координати точки перетину графіків рівнянь, не викону. ючи побудов:1) 2x + y = 5 та 3х – бу = 1; 2) 3х - 2y = 0 та 5х – Зу = 19.​

Answer 1

Розв'язання:

Якщо графіки рівнянь перетинаються, то вони мають спільний розв'язок. (вони рівносильні)

Система:

1)2x + y = 5|•6

3х – 6у = 1

Домножимо перше рівняння на 6

12x + 6y = 30

3х – 6у = 1

Для виключення однієї змінної додамо ці два рівняння: (y зникне)

15x = 31

x = 31/15

3х – 6у = 1

6y = 3x – 1

6y = 31/5 – 1

6y = (31-5)/5

6y = 26/5

y = 26/30

y = 13/15

Розв'язком системи є пара чисел: (31/15; 13/15)

Відповідь: (31/15; 13/15)

2) Система:

3х – 2y = 0|•(-3)

5х – Зу = 19|•2

Домножимо перше рівняння на (-3), а друге на 2.

-9х + 6y = 0

10х – 6у = 38

Для виключення однієї змінної додамо ці два рівняння: (y зникне).

x = 38

2y = 3x

2y = 114

y = 114/2

y = 57

Розв'язком системи є пара чисел: (38;57)

Відповідь: (38;57)

Answer 2

Щоб знайти координати точки перетину графіків, потрібно розв'язати систему рівнянь. Давайте почнемо з першої:

1. $2x + y = 5$ та $3x - 2y = 1$.

Ми можемо використовувати метод елімінації. Додамо перше рівняння до другого, помноживши його на 2:

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \quad (1) \\ 6x - 4y = 2 \quad (2) \end{cases}$$

Тепер відняємо рівняння (1) від рівняння (2):

$$-5y = -3 \implies y = \frac{3}{5}$$

Підставимо значення $y$ у перше рівняння:

$$2x + \frac{3}{5} = 5 \implies 2x = \frac{22}{5} \implies x = \frac{11}{5}$$

Отже, перша система має рішення $x = \frac{11}{5}$ та $y = \frac{3}{5}$.

Тепер розглянемо другу систему:

2. $3x - 2y = 0$ та $5x - 3y = 19$.

Ми можемо знову використати метод елімінації. Помножимо перше рівняння на 3 та друге на 2:

$$\begin{cases} 9x - 6y = 0 \quad (3) \\ 10x - 6y = 38 \quad (4) \end{cases}$$

Тепер відняємо рівняння (3) від рівняння (4):

$$x = 38$$

Підставимо значення $x$ у третє рівняння:

$$9x - 6y = 0 \implies 9(38) - 6y = 0 \implies -6y = -342 \implies y = 57$$

Отже, друга система має рішення $x = 38$ та $y = 57$.

Загалом, перша точка перетину має координати $\left(\frac{11}{5}, \frac{3}{5}\right)$, а друга - $(38, 57)$.