Question

Найти точки экстремума функции f(x)=x³-9x²+15x​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

f(x)=x³-9x²+15x​

f'(x)=3x²-18x+15

f'(x)=0

3x²-18x+15=0  (:3)

x²-6x+5=0

По теореме, обратной теореме Виета х1=1; х2=5

   +               _              +

________1_______5_______

1- максимум

5- минимум

Ответ: 1;5;

Answer 2

найдем производную. она равна

3х²-18х+15=3*(х²-6х+5)

х²-6х+5=0, по Виету х=1; х=5

______1________5_______________

  +                  -                       +

при переходе через точку х=1 производная меняет знак с плюса на минус, х=1- точка максимума; при переходе через точку х=5 производная меняет знак с минуса на плюс, х=5- точка точка минимума.

Эти точки - точки экстремума.

Answer 3

Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x$, нам нужно найти её производную и приравнять её к нулю. Экстремумы происходят в точках, где производная функции равна нулю или не существует.

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 3x^2 - 18x + 15$.

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: $3x^2 - 18x + 15 = 0$.

   Это уравнение квадратное, и мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$,

   где в нашем случае $a = 3$, $b = -18$, и $c = 15$.

   $x = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

   Рассчитываем корни:

   $x_1 = \frac{18 + \sqrt{144}}{6} = \frac{18 + 12}{6} = 5$, $x_2 = \frac{18 - \sqrt{144}}{6} = \frac{18 - 12}{6} = 1$.

Таким образом, у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: $x = 1$ и $x = 5$. Чтобы определить, являются ли они точками экстремума, мы можем проанализировать вторую производную $f''(x)$.

3. Найдем вторую производную функции $f(x)$: $f''(x) = 6x - 18$.

4. Оценим знак второй производной в точках $x = 1$ и $x = 5$:

   • Для $x = 1$: $f''(1) = 6 \cdot 1 - 18 = -12$. Знак второй производной отрицателен, поэтому в точке $x = 1$ есть локальный максимум.

   • Для $x = 5$: $f''(5) = 6 \cdot 5 - 18 = 12$. Знак второй производной положителен, поэтому в точке $x = 5$ есть локальный минимум.

Итак, точки экстремума функции $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x$ - это $x = 1$ (локальный максимум) и $x = 5$ (локальный минимум).