Question

Найдите среднее арифметическое корней уравнения 3x/(2x^2-5x+8)+2x/(2x^2-6x+8)=2

Answer 1

$\frac{3x}{2 x^{2} -5x+8} + \frac{2x}{2 x^{2} -6x+8} =2$

Так как x=0 не является корнем уравнения, то, разделив числитель и знаменатель каждой дроби в левой части уравнения на x, получим равносильное уравнение:
$\frac{3}{2 x -5+ \frac{8}{x} } + \frac{2}{2 x -6+ \frac{8}{x} } =2$

Замена: ${2 x+ \frac{8}{x} } =y$

$\frac{3}{y-5} + \frac{2}{y-6} =2$
$\frac{3(y-6)+2(y-5)}{(y-5)(y-6)} = \frac{2(y-5)(y-6)}{(y-5)(y-6)}$
$\frac{3y-18+2y-10}{(y-5)(y-6)} = \frac{2(y^2-11y+30)}{(y-5)(y-6)}$
$y \neq 5$
$y \neq 6$
${3y-18+2y-10}={2(y^2-11y+30)}$
$5y-28={2y^2-22y+60$
$2y^2-27y+88=0$
$D=(-27)^2-4*2*88=729-704=25$
$y_1= \frac{27+5}{4}=8$
$y_2= \frac{27-5}{4}=5.5$

$2x+ \frac{8}{x} =5.5$                                                 или    $2x+ \frac{8}{x} =8$
$2 x^{2} -5.5x+8=0$                                        или     $2 x^{2} -8x+8=0$
$D=(5.5)^2-4*2*8=30.25-64\ \textless \ 0$     или  $x^{2} -4x+4=0$
нет корней                                                      или    $(x-2)^2=0$ 
                                                                                   $x=2$

Ответ: 2