Question

Z = arctg (x+y)/(y^2-1) найти полный дифференциациал распишите пожалуйста подробное решение, чтобы можно было потом разобраться)) заранее спасибо)​

Answer 1

Ответ:

$z=z(x;y)\ \ ,\ \ \ dz=z'_{x}\, dx+z'_{y}\, dy\\\\\\z=arctg\dfrac{x+y}{y^2-1}\\\\\\z'_{x}=\dfrac{1}{1+(\frac{x+y}{y^2-1})^2}\cdot \dfrac{1\cdot (y^2-1)-(x+y)\cdot 0}{(y^2-1)^2}=\dfrac{(y^2-1)^2}{(y^2-1)^2+(x+y)^2}\cdot \dfrac{y^2-1}{(y^2-1)^2}=\\\\\\=\dfrac{y^2-1}{(y^2-1)^2+(x+y)^2}$

$z'_{y}=\dfrac{1}{1+(\frac{x+y}{y^2-1})^2}\cdot \dfrac{1\cdot (y^2-1)-(x+y)\cdot 2y}{(y^2-1)^2}=\\\\\\=\dfrac{(y^2-1)^2}{(y^2-1)^2+(x+y)^2}\cdot \dfrac{y^2-1-2xy-2y^2}{(y^2-1)^2}=-\dfrac{y^2+2xy+1}{(y^2-1)^2+(x+y)^2}$

$dz=\dfrac{y^2-1}{(y^2-1)^2+(x+y)^2}\, dx-\dfrac{y^2+2xy+1}{(y^2-1)^2+(x+y)^2}\, dy$

Answer 2

Давайте найдем полный дифференциал функции Z = arctg((x + y) / (y^2 - 1)). Для этого мы будем использовать дифференцирование по x и по y. Полный дифференциал будет выглядеть следующим образом:

dZ = (∂Z/∂x)dx + (∂Z/∂y)dy

Для начала найдем частные производные (∂Z/∂x) и (∂Z/∂y) по очереди:

1. Частная производная по x (∂Z/∂x):

Z = arctg((x + y) / (y^2 - 1))

Используем цепное правило дифференцирования:

d/dx [arctg(u)] = 1 / (1 + u^2) * du/dx, где u = (x + y) / (y^2 - 1)

Дифференцируем u по x:

du/dx = [(y^2 - 1) * 1 - (x + y) * 2y] / (y^2 - 1)^2

Теперь мы можем найти частную производную Z по x:

∂Z/∂x = 1 / (1 + [(x + y) / (y^2 - 1)]^2) * du/dx

∂Z/∂x = [y^2 - 1 - 2y(x + y)] / [(y^2 - 1)^2 + (x + y)^2]

2. Частная производная по y (∂Z/∂y):

Для нахождения частной производной по y, мы также используем цепное правило дифференцирования:

∂Z/∂y = 1 / (1 + [(x + y) / (y^2 - 1)]^2) * du/dy

где du/dy - производная u по y. Мы уже нашли du/dx, и для вычисления du/dy нам нужно продифференцировать u по y:

du/dy = [(x + y) * 2y - (y^2 - 1) * 1] / (y^2 - 1)^2

Теперь мы можем найти частную производную Z по y:

∂Z/∂y = 1 / (1 + [(x + y) / (y^2 - 1)]^2) * du/dy

∂Z/∂y = [(x + y) * 2y - (y^2 - 1)] / [(y^2 - 1)^2 + (x + y)^2]

Теперь у нас есть выражения для частных производных ∂Z/∂x и ∂Z/∂y. Мы можем использовать их, чтобы найти полный дифференциал dZ:

dZ = (∂Z/∂x)dx + (∂Z/∂y)dy

dZ = [y^2 - 1 - 2y(x + y)] / [(y^2 - 1)^2 + (x + y)^2] * dx + [(x + y) * 2y - (y^2 - 1)] / [(y^2 - 1)^2 + (x + y)^2] * dy

Это и есть полный дифференциал функции Z = arctg((x + y) / (y^2 - 1)).