Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2+2, y=4-x^2.​

Answer 1

Ответ:

$y=x^2+2\ \ ,\ \ y=4-x^2\\\\x^2+2=4-x^2\ \ ,\ \ \ 2x^2=2\ \ ,\ \ x^2=1\ \ ,\ \ x_1=-1\ ,\ x_2=1\\\\\\S=\int\limits^1_{-1}\, (4-x^2-(x^2+2))\, dx=\int\limits^1_{-1}\, (2-2x^2)\, dx=\Big(2x-\dfrac{2x^3}{3}\Big)\Big|_{-1}^1=\\\\\\=\Big(2-\dfrac{2}{3}\Big)-\Big(-2+\dfrac{2}{3}\Big)=2\cdot \Big(2-\dfrac{2}{3}\Big)=2\cdot \dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми $y = x^2 + 2$ и $y = 4 - x^2$, нам нужно найти точки их пересечения. Площадь фигуры будет равна интегралу разности этих двух функций между соответствующими пределами.

Сначала найдем точки пересечения, решив уравнение $x^2 + 2 = 4 - x^2$:

$x^2 + x^2 = 4 - 2$

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

Теперь мы знаем, что точки пересечения находятся в $x = -1$ и $x = 1$.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры:

$S = \int_{-1}^{1} (4 - x^2 - (x^2 + 2)) dx$

$S = \int_{-1}^{1} (4 - x^2 - x^2 - 2) dx$

$S = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx$

Теперь вычислим интеграл:

$S = \left[2x - \frac{2}{3}x^3\right]_{-1}^1$

$S = \left[2(1) - \frac{2}{3}(1^3) - (2(-1) - \frac{2}{3}(-1^3))\right]$

$S = \left[2 - \frac{2}{3} - (-2 + \frac{2}{3})\right]$

$S = \left[\frac{8}{3} + \frac{8}{3}\right]$

$S = \frac{16}{3}$

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = x^2 + 2$ и $y = 4 - x^2$, равна $\frac{16}{3}$.