Question

Найдите производную функции y=sin( п– 4x) в точке х0=п/3​

Answer 1

Решение:

$y = sin(\pi -4x), x_{0} =\frac{\pi}{3} \\y' = (sin(\pi -4x))' = (sin(4x))' = (sin(4x))' * (4x)' = cos(4x)*4(x)' = cos(4x)*4*1 = cos(4x)*4 = 4cos(4x)\\y'(\frac{\pi}{3}) = 4cos(4*\frac{\pi}{3}) = 4cos(\frac{4\pi}{3}) = 4*(-\frac{1}{2}) = -2$

Ответ: - 2

Answer 2

Чтобы найти производную функции y = sin(π - 4x) в точке x₀ = π/3, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепного правила). Правило состоит в том, что производная сложной функции f(g(x)) равна производной функции f по g, умноженной на производную функции g по x. Математически это можно записать следующим образом:

(dy/dx) = (dy/dg) * (dg/dx)

В данном случае, f(u) = sin(u), g(x) = π - 4x, и u = π - 4x. Теперь найдем производные:

1. Найдем производную функции f(u) = sin(u) по u: (df/du) = cos(u)

2. Теперь найдем производную функции g(x) = π - 4x по x: (dg/dx) = -4

Теперь мы можем применить цепное правило:

(dy/dx) = (dy/du) * (du/dx) = cos(u) * (-4)

Теперь подставим значение u = π - 4x и x = π/3:

u = π - 4 * (π/3) = π - (4/3)π = (3/3)π - (4/3)π = (-1/3)π

Теперь подставим это значение в производную:

(dy/dx) = cos((-1/3)π) * (-4)

cos((-1/3)π) равен -1, так как косинус отрицателен во втором квадранте. Поэтому:

(dy/dx) = -1 * (-4) = 4

Итак, производная функции y = sin(π - 4x) в точке x₀ = π/3 равна 4.