Question

При каких значениях параметра а уравнение (а + 4)х^2 + 2(а + 6)х + (2а + 9) = 0 имеет два различных корня?

Answer 1

Ответ:

Квадратное уравнение имеет два действительные корни, если его дискриминант больше нуля и коэффициент при х² не равен нулю, т.е.

D=(2a+1)^2-4a(1+a)=4a^2+4a+1-4a-4a^2=1 > 0D=(2a+1)

2

−4a(1+a)=4a

2

+4a+1−4a−4a

2

=1>0

То есть, для всех а, кроме a=0 квадратное уравнение имеет два действительных корня

Answer 2

Чтобы уравнение $(а + 4)x^2 + 2(а + 6)x + (2а + 9) = 0$ имело два различных корня, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть положительным. Дискриминант можно найти по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

В данном уравнении: $a = (а + 4)$, $b = 2(а + 6)$, $c = 2а + 9$.

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу для дискриминанта:

$D = [2(а + 6)]^2 - 4(а + 4)(2а + 9)$

После упрощения:

$D = 4(а + 6)^2 - 8(а + 4)(2а + 9)$

$D = 4(а^2 + 12а + 36) - 8(2а^2 + 8а + 18а + 36)$

$D = 4а^2 + 48а + 144 - 16а^2 - 64а - 144$

Теперь объединим подобные члены:

$D = 4а^2 - 16а^2 + 48а - 64а + 144 - 144$

$D = -12а^2 - 16а$

Чтобы уравнение имело два различных корня, $D$ должен быть больше нуля:

$-12а^2 - 16а > 0$

Теперь давайте решим это неравенство:

$-12а^2 - 16а > 0$

Сначала поделим обе стороны на -4 (и помним, что при делении на отрицательное число неравенство меняет знак):

$3а^2 + 4а < 0$

Теперь факторизуем:

$a(3а + 4) < 0$

Теперь определим интервалы, в которых неравенство выполняется. Мы видим, что $a$ должно быть меньше 0 и больше -4/3:

$-\frac{4}{3} < a < 0$

Таким образом, уравнение $(а + 4)x^2 + 2(а + 6)x + (2а + 9) = 0$ имеет два различных корня при значениях параметра $a$ в интервале $-\frac{4}{3} < a < 0$.