Question

Решите систему неравенств{х^2-8х+25>0{х^2-49<0

Answer 1

Система неравенств:

{ x^2 - 8x + 25 > 0

{ x^2 - 49 < 0

Выделим полный квадрат в 1 неравенстве.

{ x^2 - 2*4x + 4^2 - 4^2 + 25 > 0

{ x^2 - 49 < 0

Свернем квадрат в 1 неравенстве и разложим на множители 2 неравенство.

{ (x-4)^2 + 9 > 0

{ (x+7)(x-7) < 0

1 неравенство верно при любом х: x € (-oo; +oo).

2 неравенство по методу интервалов имеет решение: x € (-7; 7).

Ответ: (-7; 7)

Answer 2

Давайте решим эту систему неравенств поочередно.

1. Начнем с первого неравенства: x^2 - 8x + 25 > 0

   Это квадратное неравенство. Мы можем попробовать найти корни квадратного уравнения, чтобы определить интервалы, на которых оно положительно или отрицательно. Сначала найдем корни:

   x^2 - 8x + 25 = 0

   Для нахождения корней, можно воспользоваться квадратным уравнением:

   D = b^2 - 4ac D = (-8)^2 - 4(1)(25) = 64 - 100 = -36

   Так как дискриминант D отрицателен, у нас нет действительных корней, что означает, что квадратное уравнение не имеет корней.

   Теперь давайте определим, на каких интервалах x^2 - 8x + 25 положительно или отрицательно. Так как у нас нет действительных корней, уравнение x^2 - 8x + 25 не меняет знак на вещественной числовой прямой. Оно всегда положительно.

   Значит, первое неравенство выполняется для всех действительных значений x.

2. Теперь перейдем ко второму неравенству: x^2 - 49 < 0

   Это также квадратное неравенство. Найдем его корни:

   x^2 - 49 = 0

   Для нахождения корней, можно воспользоваться квадратным уравнением:

   D = b^2 - 4ac D = 0^2 - 4(1)(-49) = 196

   Дискриминант D положителен, что означает, что у нас есть два действительных корня:

   x1 = (-b + √D) / (2a) = (0 + √196) / (2 * 1) = 14 / 2 = 7 x2 = (-b - √D) / (2a) = (0 - √196) / (2 * 1) = -7 / 2

   Теперь определим, на каких интервалах x^2 - 49 положительно или отрицательно. Неравенство x^2 - 49 < 0 выполняется для x, находящихся в интервале (-7/2, 7/2).

Итак, решение системы неравенств будет следующим:

• Первое неравенство x^2 - 8x + 25 > 0 выполняется для всех действительных значений x.
• Второе неравенство x^2 - 49 < 0 выполняется для x, находящихся в интервале (-7/2, 7/2).