Question

Решите уравнение, используя метод интегрирующего множителя . (x^2*cos(x)-y)dx+xdy=0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

///////////////////////////

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с использованием метода интегрирующего множителя, нам нужно найти такую функцию μ(x), что уравнение вида:

μ(x)(x^2cos(x) - y)dx + μ(x)*xdy = 0

становится полным дифференциальным уравнением. Это означает, что смешанный член μ(x)*xdy можно превратить в полный дифференциал.

Ваше уравнение:

(x^2*cos(x) - y)dx + xdy = 0

Мы видим, что у нас нет явной зависимости μ(x), но мы можем попробовать найти её неявно. Попробуем найти μ(x) так, чтобы:

(μ(x)x)dy + (μ(x)(x^2*cos(x) - y))dx = 0

Теперь сравниваем коэффициенты при dy и dx:

1. μ(x)*x = дифференцирующий множитель для dy.
2. μ(x)(x^2cos(x) - y) = дифференцирующий множитель для dx.

Для удобства найдем производные по x:

1. d(μ(x)*x)/dx = μ'(x)*x + μ(x)
2. d(μ(x)(x^2cos(x) - y))/dx = μ'(x)(x^2cos(x) - y) + μ(x)d(x^2cos(x) - y)/dx = μ'(x)(x^2cos(x) - y) + μ(x)(2xcos(x) - dy/dx)

Теперь приравниваем их:

1. μ'(x)*x + μ(x) = μ(x)*x
2. μ'(x)(x^2cos(x) - y) + μ(x)(2xcos(x) - dy/dx) = μ(x)(x^2cos(x) - y)

Сокращаем μ(x) с обеих сторон:

1. μ'(x)*x + 1 = x
2. μ'(x)(x^2cos(x) - y) + 2xcos(x) - dy/dx = x^2cos(x) - y

Теперь решим первое уравнение:

μ'(x)*x + 1 = x μ'(x)*x = 0 μ'(x) = 0

Интегрируя μ'(x), получаем:

μ(x) = C, где C - произвольная постоянная.

Теперь подставим μ(x) обратно во второе уравнение:

C*(x^2cos(x) - y) + 2xcos(x) - dy/dx = x^2*cos(x) - y

Теперь упростим это уравнение:

C*(x^2cos(x) - y) + 2xcos(x) - dy/dx = x^2*cos(x) - y

Сокращаем x^2*cos(x) - y с обеих сторон:

C - dy/dx + 2x*cos(x) = 0

Теперь выразим dy/dx:

dy/dx = C + 2x*cos(x)

Теперь дифференцируем y относительно x:

dy/dx = d/dx (Cx) + d/dx (2sin(x)) dy/dx = C + 2*cos(x)

Итак, решением данного дифференциального уравнения является:

dy/dx = C + 2x*cos(x)

где C - произвольная постоянная.