Question

Помогите пожалуйста с уравнениями y' '+2 y'+5 y=−2sin x y"-3y=(4x+1)e^2x

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

1.

Cоставляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r^2 +2 r + 5 = 0

D=2^2 - 4·1·5=-16

Корни характеристического уравнения: (комплексные корни):

r1 = -1 + 2i

r2 = -1 - 2i

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y- = C1 e^(-x) cos(2x) + C2 e^(-x) cos(2x) , Ci ∈ R

Рассмотрим правую часть:

f(x) = -2*sin(x)

Здесь P(x) = 0, Q(x) = -2, α = 0, β = 1.

Следовательно, число α + βi = i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

y· = Acos(x) + Bsin(x)

Вычисляем производные:

y' = -A·sin(x)+B·cos(x)

y'' = -(A·cos(x)+B·sin(x))

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' + 2y' + 5y = (-(A·cos(x)+B·sin(x))) + 2(-A·sin(x)+B·cos(x)) + 5(Acos(x) + Bsin(x)) = -2·sin(x)

или

-2·A·sin(x)+4·A·cos(x)+4·B·sin(x)+2·B·cos(x) = -2·sin(x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

1: -2A + 4B = -2

1: 4A + 2B = 0

Решая ее, находим:

A = 1/5;B = -2/5;

Частное решение имеет вид:

y·=1/5cos(x) -2/5sin(x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y = y- +y. = y- = C1 e^(-x) cos(2x) + C2 e^(-x) cos(2x) +1/5cos(x) -2/5sin(x)

2.

Cоставляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r^2 +0 r - 3 = 0

D=0^2 - 4·1·(-3)=12

Корни характеристического уравнения:

r1 =$\sqrt{3}$

r2 =-$\sqrt{3}$

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y- = C1e^$\sqrt{3}$ +C2 e^ (-$\sqrt{3$) , Ci ∈ R

Рассмотрим правую часть:

f(x) = (4*x+1)*e^(2*x)

Поиск частного решения.

Здесь P(x) = 4•x+1, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

y· = (Ax + B)e^(2x)

Вычисляем производные:

y' = A·e^(2x+2(A·x+B)·e^(2x)

y'' = 4(A·x+A+B)·e^(2x)

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' -3y = (4(A·x+A+B)·e^(2x)) -3((Ax + B)e^(2x)) = (4·x+1)·e^(2·x)

или

A·x·e^(2x)+4·A·e^(2x)+B·e^(2x) = (4·x+1)·e^(2·x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

x: A = 4

1: 4A + B = 1

Решая ее, находим:

A = 4;B = -15;

Частное решение имеет вид:

y·=(4x -15)e^(2x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y = y- +y. = C1e^$\sqrt{3}$ +C2 e^ (-$\sqrt{3$) +(4x -15)e^(2x).

Answer 2

Для решения данных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, вы можете использовать метод аннигиляторов. Первым шагом является нахождение общего решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного уравнения (с правой частью). Давайте начнем с первого уравнения:

1. y'' + 2y' + 5y = 0 (однородное уравнение).

Сначала найдем характеристическое уравнение:

r^2 + 2r + 5 = 0.

Далее, используем квадратное уравнение для нахождения корней r:

r = (-2 ± √(2^2 - 415)) / (2*1).

r = (-2 ± √(4 - 20)) / 2.

r = (-2 ± √(-16)) / 2.

Поскольку дискриминант отрицательный, корни будут комплексными числами:

r1 = (-2 + 4i) / 2 = -1 + 2i, r2 = (-2 - 4i) / 2 = -1 - 2i.

Теперь мы можем записать общее решение однородного уравнения:

y_h = c1 * e^(-x) * cos(2x) + c2 * e^(-x) * sin(2x).

Теперь перейдем ко второму уравнению:

2. y'' - 3y = (4x + 1) * e^(2x).

Сначала найдем частное решение. Для этого используем метод вариации постоянных (метод неоднородностей).

Предположим, что частное решение имеет вид y_p = Ax^2 + Bx + C * e^(2x).

Теперь найдем производные:

y_p'' = 2A, y_p' = 2B + 2C * e^(2x).

Подставим эти производные в уравнение:

2A - 3(Ax^2 + Bx + C * e^(2x)) = 4x + 1.

Раскроем скобки и сгруппируем похожие члены:

(2A - 3C) * e^(2x) + (2A - 3B) * x^2 + (2A - 3B) * x = 4x + 1.

Теперь сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

2A - 3C = 0, (1) 2A - 3B = 4, (2) 2A - 3B = 1. (3)

Из уравнения (1) можно выразить C:

C = 2A / 3. (1')

Подставим (1') в уравнение (2):

2A - 3B = 4.

Теперь выразим B:

B = (2A - 4) / 3. (2')

Подставим (1') в уравнение (3):

2A - 3B = 1.

Теперь выразим A:

2A - 3((2A - 4) / 3) = 1, 2A - 2A + 4 = 3, 4 = 3.

Это уравнение приводит к противоречию, что означает, что наше предположение о виде частного решения было неверным.

Изменим наше предположение и предположим, что частное решение имеет вид y_p = Ax^2 + Bx + C * x * e^(2x). Теперь проделаем те же шаги.

Теперь, подставив B = (2A - 4) / 3, выразим A из уравнения (2):

2A - 3B = 4, 2A - 3((2A - 4) / 3) = 4, 2A - 2A + 4 = 4, 4 = 4.

Это уравнение верно, и нет противоречий. Теперь мы можем выразить A:

A = 1.

Теперь найдем B:

B = (2A - 4) / 3 = (2*1 - 4) / 3 = -2/3.

И C:

C = 2A / 3 = 2/3.

Теперь мы знаем значения A, B и C, и можем записать частное решение:

y_p = x^2 - (2/3)x + (2/3)xe^(2x).

Итак, общее решение второго уравнения:

y = y_h + y_p = c1 * e^(-x) * cos(2x) + c2 * e^(-x) * sin(2x) + x^2 - (2/3)x + (2/3)xe^(2x).

Это общее решение данной системы уравнений.