Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ На доске 5×5 отмечены центры всех 25 клеток. Доску разбивают на части прямолинейными разрезами, не проходящими через отмеченные точки, так, чтобы в каждой из них было не более одного центра клетки. Какого наименьшего числа разрезов для этого хватит?(Могу также дать ответ на любую другую задачу олимпиады)

Answer 1

Ответ:8

Пошаговое объяснение:

Докажем, почему нельзя меньше чем 8 разрезами. К краю доски прилегает 16 клеток и их центров. Соединим эти центры по периметру 16-ю отрезками. Один разрез может пересечь максимум 2 отрезка (не считаем, когда разрез прошёл по концу отрезка, т.е. через центр клетки, что нельзя по условию). Тогда, т.к. разрезов 7, то разрезаны будут максимум 14 отрезков --> останется один не разрезанный отрезок --> но он соединяет 2 центра клеток, а значит эти центры будут в одной части. Противоречие. Нужно как минимум 8.

Пример:

Можно разрезать по внутренним вертикалям и горизонталям квадрата 5*5, их как раз 4+4=8.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте рассмотрим сначала максимальное количество клеток, которые можно разделить одним разрезом.

Каждый разрез будет делить доску на две части. Поскольку каждая из 25 клеток имеет свой центр, разрез не может проходить через центр ни одной из клеток. Однако разрез может проходить между клетками, и в таком случае он разделяет две клетки.

Для того чтобы разделить максимальное количество клеток, разрез должен проходить между каждой парой клеток. Поскольку у нас 25 клеток, количество пар клеток равно C(25, 2) (число сочетаний из 25 по 2).

C(25, 2) = 25! / (2!(25 - 2)!) = 25! / (2! * 23!) = (25 * 24) / (2 * 1) = 300.

Итак, с одним разрезом вы можете разделить 300 пар клеток, и, следовательно, 300 клеток.

Теперь мы должны разделить оставшиеся клетки. Для этого вам понадобится ещё несколько разрезов. Поскольку вы уже разделили 300 клеток, осталось 25 - 300 = 25 - 300 = 0 клеток.

Итак, вам не потребуется ни одного дополнительного разреза для разделения оставшихся клеток. Общее количество разрезов, необходимых для разделения всех клеток, равно 1.

Ответ: Для разделения всех клеток на доске 5x5 с отмеченными центрами каждой клетки потребуется всего 1 разрез.