Question

Найти частные производные по х, по у и по хх: z=5^x+5^y+5+5^(x+y)+5^(5x+y-5)

Answer 1

$z=5^x+5^y+5+5^{x+y}+5^{5x+y-5}$

Частная производная по выбранной переменной вычисляется в предположении, что все остальные переменные - константы.

$z'_x=(5^x+5^y+5+5^{x+y}+5^{5x+y-5})'_x$

$z'_x=5^x\ln5+0+0+5^{x+y}\ln5\cdot(x+y)'_x+5^{5x+y-5}\ln5\cdot(5x+y-5)'_x$

$z'_x=5^x\ln5+5^{x+y}\ln5\cdot1+5^{5x+y-5}\ln5\cdot5$

$z'_x=5^x\ln5+5^{x+y}\ln5+5^{5x+y-4}\ln5$

$\boxed{z'_x=(5^x+5^{x+y}+5^{5x+y-4})\ln5}$

$z'_y=(5^x+5^y+5+5^{x+y}+5^{5x+y-5})'_y$

$z'_y=0+5^y\ln5+0+5^{x+y}\ln5\cdot(x+y)'_y+5^{5x+y-5}\ln5\cdot(5x+y-5)'_y$

$z'_y=5^y\ln5+5^{x+y}\ln5\cdot1+5^{5x+y-5}\ln5\cdot1$

$z'_y=5^y\ln5+5^{x+y}\ln5+5^{5x+y-5}\ln5$

$\boxed{z'_y=(5^y+5^{x+y}+5^{5x+y-5})\ln5}$

$z''_{xx}=(z'_x)'_x$

$z''_{xx}=((5^x+5^{x+y}+5^{5x+y-4})\ln5)'_x$

$z''_{xx}=(5^x+5^{x+y}+5^{5x+y-4})'_x\ln5$

$z''_{xx}=(5^x\ln5+5^{x+y}\ln5\cdot(x+y)'_x+5^{5x+y-4}\ln5\cdot(5x+y-4)'_x)\ln5$

$z''_{xx}=(5^x\ln5+5^{x+y}\ln5\cdot1+5^{5x+y-4}\ln5\cdot5)\ln5$

$z''_{xx}=(5^x\ln5+5^{x+y}\ln5+5^{5x+y-3}\ln5)\ln5$

$\boxed{z''_{xx}=(5^x+5^{x+y}+5^{5x+y-3})\ln^25}$

Answer 2

Для нахождения частных производных функции $z$ по переменным $x$, $y$ и $xx$ (вторая производная по $x$), сначала найдем частные производные по $x$ и $y$, а затем найдем вторую производную по $x$.

1. Частная производная по $x$: $\frac{\partial z}{\partial x} = 5^x \ln(5) + 5^y \cdot 0 + 0 + 5^{x+y} \ln(5) + 5^{5x+y-5} \cdot (5 \ln(5) + 5x)$

2. Частная производная по $y$: $\frac{\partial z}{\partial y} = 5^x \cdot 0 + 5^y \ln(5) + 0 + 5^{x+y} \ln(5) + 5^{5x+y-5} \cdot y \ln(5)$

3. Вторая производная по $x$: $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 5^x \cdot (\ln(5))^2 + 5^y \cdot 0 + 0 + 5^{x+y} \cdot (\ln(5))^2 + 5^{5x+y-5} \cdot (5 \ln(5) + 5x)^2$

Это выражения для частных производных функции $z$ по переменным $x$, $y$ и второй производной по $x$.