Question

Найти вторые частные производные указанных функций. Убедиться в том, что Z"xy=Z"yx

Answer 1

Найдем производную функцию по $x:$
$z'_x=- \frac{2}{ \sqrt{1-(2x+y)^2} }$
Теперь дифференцируем по $y:$
$z''_{xy}=(- \frac{2}{ \sqrt{1-(2x+y)^2} } )'_y=- \frac{4x+2y}{(1-(2x+y)^2)^{ \frac{3}{2} }}$
 
Аналогично докажем наоборот.
Производная функции по $y:$
$z'_y=- \frac{1}{ \sqrt{1-(2x+y)^2} }$
Теперь дифференцируем по $x:$
$z''_{yx}=(- \frac{1}{ \sqrt{1-(2x+y)^2} })'_x=- \frac{4x+2y}{(1-(2x+y)^2)^{ \frac{3}{2} }}$


Вывод: $z''_{xy}=z''_{yx}$