Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО отмечу как лучший 1)Найти частные производные первого и второго порядка Z=COS(x+Ln y) 2) Найти экстремум функции Z=-x^2+4xy-5y^2+2x-6y+15

Answer 1

Частные производные

Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке A(x0,y0) называется предел отношения частного приращения по x функции в точке A к приращению ∆x при стремлении ∆x к нулю.

Частные производные функции z(x,y) находятся по следующим формулам: Частные производные

Вторые частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:

Вторые частные производныеВторые частные производные функции z(x,y)находятся по формулам: 
 
Смешанные частные производные функции z(x,y)находятся по формулам: 

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся правилами дифференцирования и определением экстремумов функций.

1. Найдем частные производные первого и второго порядка функции Z=COS(x+Ln y):

∂Z/∂x = -SIN(x+Ln y) // производная по x

∂Z/∂y = -SIN(x+Ln y) / y // производная по y

Для нахождения частной производной второго порядка по x дважды дифференцируем ∂Z/∂x, а для нахождения частной производной второго порядка по y дважды дифференцируем ∂Z/∂y:

∂^2Z/∂x^2 = -COS(x+Ln y) // вторая производная по x

∂^2Z/∂y^2 = SIN(x+Ln y) / y^2 // вторая производная по y

∂^2Z/∂x∂y = COS(x+Ln y) / y // смешанная производная

2. Найдем экстремум функции Z=-x^2+4xy-5y^2+2x-6y+15:

Сначала найдем частные производные функции:

∂Z/∂x = -2x + 4y + 2 // производная по x

∂Z/∂y = 4x - 10y - 6 // производная по y

Теперь найдем точки, в которых производные равны нулю (критические точки):

-2x + 4y + 2 = 0

4x - 10y - 6 = 0

Решая эту систему уравнений, получим:

x = 1, y = 1

Теперь найдем вторые производные функции:

∂^2Z/∂x^2 = -2 // вторая производная по x

∂^2Z/∂y^2 = -10 // вторая производная по y

∂^2Z/∂x∂y = 4 // смешанная производная

Найденные вторые производные позволяют сделать вывод о том, что найденная критическая точка является точкой максимума функции.

Таким образом, функция Z=-x^2+4xy-5y^2+2x-6y+15 имеет точку максимума в точке x=1, y=1.