Question

Чи можна розкласти декілька гарбузів а) в 3; б) в 4; в) в 98; г) в 99 кошиках, розставлених по колу, так, щоб в будь-яких двох сусідніх кошиках число гарбузів відрізнялося на одиницю?

Answer 1

Відповідь:

а) ні

б) так

в) так

г) ні

Пояснення:

Очевидно, що після додавання до парного числа або віднімання від нього одиниці, отримаємо НЕпарне, і навпаки. Уявімо, що гарбузи вже розкладено. Тоді числа гарбузів у будь-яких двох сусідніх кошиках матимуть різну парність.

Нехай у колі розставлено НЕпарну кількість кошиків. Пронумеруємо їх, скажімо, за годинниковою стрілкою. Почнемо для зручності з довільного кошика із НЕпарною кількістю гарбузів. Побачимо, що таке саме непарне число гарбузів міститиме 3-ій кошик (бо в другому — парна кількість гарбузів), 5-ий, ..., останній. Виходить, що в наступному кошику, який під номером "1", повинно бути парне число гарбузів. Але насправді воно НЕпарне. Отримали суперечність.

А от якби було розставлено парну кількість кошиків, то непарне число гарбузів, пронумерованих, як у попередньому абзаці, містив би ПЕРЕДостанній кошик. Тоді останній — парну, а наступний за ним, кошик під номером "1" — знов непарну, як ми й домовлялися.

Отже, здійснити те, що описано в умові задачі, можна, лише якщо використати парну кількість кошиків.

Answer 2

Так, можна розкласти гарбузи в кілька кошиків так, щоб в будь-яких двох сусідніх кошиках число гарбузів відрізнялося на одиницю. Це можна зробити за допомогою арифметичної прогресії.

а) Для розкладання гарбузів в 3 кошиках, ви можете розмістити їх у такій послідовності: 1, 2, 1.

б) Для 4 кошиків: 1, 2, 3, 4.

в) Для 98 кошиків: 1, 2, 3, ..., 97, 98.

г) Для 99 кошиків: Це також можливо, але потрібно розглянути, як розмістити гарбузи, щоб забезпечити умову. Один із можливих варіантів такий: 1, 2, 1, 2, ..., 1, 2, 1. Тобто, ви розміщуєте гарбузи в кошиках в такій послідовності, де чергуються кошики з 1 і 2 гарбузами, і це створює зміну числа гарбузів на одиницю між сусідніми кошиками.

Ці послідовності гарбузів задовольняють умову, що в будь-яких двох сусідніх кошиках число гарбузів відрізняється на одиницю.