Question

известно, что при любом положительном значении p корни уравнения (с переменной) ax²-3x+p=0 существуют и все они положительны. Докажите, что a = 0​

Answer 1

Пусть а не равно 0. Тогда можно переписать уравнение:

x^2-2*(1,5/a)+2,25/(a^2)=(2,25/a^2)-p/a

(x-(1,5)/a)^2=(2,25/a^2)-p/a

Утверждается , что при любом положительном р корни существуют и положительны(значит действительны), однако этого быть не может

если (2,25/a^2)-p/a<0.  Но  при p/a> (2,25/a^2)  выражение меньше 0.

Значит если а больше 0, то найдется положительное р при котром условие не выполняется. Если а меньше 0, то произведение корней по теореме Виета отрицательно , а значит корни разных знаков. Значит при а не равном 0 усовие не может быть выполнено.

Если а=0 , то х=р/3. Корень единственный и положительный..

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение:

ax² - 3x + p = 0

Известно, что все корни этого уравнения положительны. Давайте обозначим корни как x₁ и x₂, где x₁ и x₂ > 0.

Сначала найдем сумму корней уравнения:

x₁ + x₂ = 3/a (по формуле суммы корней квадратного уравнения)

Теперь найдем произведение корней уравнения:

x₁ * x₂ = p/a (по формуле произведения корней квадратного уравнения)

Так как мы знаем, что x₁ и x₂ положительны, а также сумма и произведение корней положительны, то a должно быть положительным числом.

Теперь мы имеем следующую информацию:

1. a > 0 (из условия корней, так как корни положительны).
2. x₁ + x₂ = 3/a (из суммы корней).
3. x₁ * x₂ = p/a (из произведения корней).

Теперь давайте рассмотрим случай, когда a = 0. Если a = 0, то у нас нет деления на ноль. Из условия a > 0 следует, что a не может быть равно нулю. Таким образом, a ≠ 0.

Таким образом, мы приходим к выводу, что a > 0 и a ≠ 0 одновременно. Это противоречие, и поэтому предположение, что a = 0, неверно. В действительности, a не может быть равно 0.

Таким образом, уравнение ax² - 3x + p = 0 может иметь только положительное значение a, и это условие никак не связано с a = 0.